La suite de Fibonacci : définition et premiers termes
La suite de Fibonacci est définie par la relation de récurrence F(n) = F(n−1) + F(n−2), à partir de F(0) = 0 et F(1) = 1 : chaque terme après les deux premiers est la somme des deux termes qui le précèdent immédiatement. La suite commence par 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ... et se poursuit indéfiniment, croissant à un rythme de plus en plus rapide.
La suite doit son nom à Léonard de Pise, dit Fibonacci, qui l'a introduite dans les mathématiques d'Europe occidentale dans son ouvrage de 1202 Liber Abaci, à travers un problème sur la croissance d'une population de lapins, bien que la suite elle-même soit apparue plus tôt dans les mathématiques indiennes, dans le contexte du dénombrement de motifs rythmiques.
Le rapport de termes consécutifs converge vers le nombre d'or
Diviser chaque nombre de Fibonacci par celui qui le précède produit un rapport qui se stabilise vers une valeur fixe à mesure que la suite progresse, au lieu de continuer à changer indéfiniment. Cette valeur fixe est le nombre d'or, φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887, un nombre irrationnel qui vérifie aussi la propriété algébrique φ² = φ + 1.
Le tableau ci-dessous montre cette convergence de façon numérique à l'aide de termes consécutifs de la suite de Fibonacci : le rapport oscille au-dessus et en dessous de φ, mais l'écart se réduit régulièrement à mesure que n augmente, de sorte que dès le 15ᵉ terme le rapport coïncide déjà avec φ à quatre décimales près.
| Termes de Fibonacci (Fₙ / Fₙ₋₁) | Rapport | Nombre d'or φ |
|---|---|---|
| 89 / 55 | 1,618182 | 1,618034 |
| 144 / 89 | 1,617978 | 1,618034 |
| 233 / 144 | 1,618056 | 1,618034 |
| 377 / 233 | 1,618026 | 1,618034 |
| 610 / 377 | 1,618037 | 1,618034 |
La formule de Binet : une forme close pour tout nombre de Fibonacci
La formule de Binet donne directement le nᵉ nombre de Fibonacci, sans avoir à calculer tous les termes précédents : F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, où φ = (1 + √5)/2 est le nombre d'or et ψ = (1 − √5)/2 est son conjugué (≈ −0,6180339887). Comme |ψ| est inférieur à 1, le terme ψⁿ tend vers zéro à mesure que n croît, de sorte que F(n) est très bien approximé simplement par φⁿ / √5 arrondi à l'entier le plus proche pour les grandes valeurs de n.
En appliquant la formule de Binet pour n = 10, on obtient F(10) = (φ¹⁰ − ψ¹⁰) / √5 = 55, ce qui correspond exactement au calcul direct par récurrence ; pour n = 20, la formule donne F(20) = 6 765, correspondant là encore au calcul direct. Cela confirme la formule de Binet comme une alternative exacte et vérifiée à la récurrence terme à terme, et non comme une simple approximation.
Ce que la recherche sur la phyllotaxie montre vraiment des nombres de Fibonacci dans la nature
La phyllotaxie, l'étude de la disposition des feuilles, des graines et d'autres structures végétales, est le domaine où les nombres de Fibonacci ont le lien documenté le plus solide avec la biologie. De nombreuses plantes — capitules de tournesol, écailles de pommes de pin, segments d'ananas — présentent deux familles de spirales tournant en sens opposés, et le nombre de spirales de chaque famille est fréquemment une paire de nombres de Fibonacci consécutifs, comme 34 et 55, ou 55 et 89.
Ce schéma n'est pas un folklore fortuit : des modèles physiques et mathématiques de la façon dont de nouvelles structures végétales (les primordiums) se répartissent en croissant vers l'extérieur à partir d'un point central, développés et testés expérimentalement par des chercheurs dont Douady et Couder, montrent que le placement de nouveaux éléments selon un angle de divergence lié au nombre d'or (environ 137,5°) produit de façon fiable des décomptes de spirales qui sont des nombres de Fibonacci consécutifs, comme un résultat émergent de la géométrie de l'empilement, et non parce que la plante calculerait d'une quelconque manière la suite. Cela fait de la phyllotaxie l'un des rares domaines où un mécanisme précis et bien documenté relie les nombres de Fibonacci à une structure biologique réelle.
Des affirmations populaires sur le nombre d'or qui ne sont pas bien étayées
En dehors de la phyllotaxie, de nombreuses affirmations largement répandues selon lesquelles le nombre d'or régirait les proportions du Parthénon, de la Grande Pyramide, de l'Homme de Vitruve de Léonard de Vinci, ou du visage humain idéal, ont été directement contestées par des mathématiciens et des historiens qui ont examiné les mesures précises en jeu. L'article de 1992 du mathématicien George Markowsky, « Misconceptions about the Golden Ratio », publié dans The College Mathematics Journal, et l'essai du mathématicien Keith Devlin, « The Myth That Will Not Go Away », montrent tous deux que beaucoup de ces affirmations reposent sur des points de mesure choisis de façon sélective, des arrondis, ou des dimensions que les architectes ou artistes d'origine n'ont jamais eu l'intention de faire refléter φ.
Une prudence similaire s'applique aux affirmations selon lesquelles la spirale de la coquille du nautile serait une « spirale d'or » précise (une spirale logarithmique de facteur de croissance φ) — la coquille du nautile est bien une spirale logarithmique, mais les mesures de coquilles réelles montrent que son rapport de croissance varie et n'est pas fiablement ni précisément égal à φ — ainsi qu'aux niveaux de « retracement de Fibonacci » utilisés dans certaines analyses techniques boursières, qui appliquent des pourcentages dérivés de Fibonacci aux graphiques de prix sans mécanisme causal établi reliant les mouvements de prix du marché à la suite mathématique. Les liens de Fibonacci véritablement documentés (la convergence exacte du rapport, la formule de Binet, et les décomptes de spirales de la phyllotaxie) sont solides sur le plan mathématique et empirique ; les affirmations popularisées sur l'art, l'architecture, l'anatomie et les marchés ne le sont généralement pas, et devraient être traitées avec la même prudence que toute affirmation non vérifiée de mise en correspondance de motifs.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la suite de Fibonacci ?
La suite de Fibonacci est une liste de nombres commençant par 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..., où chaque terme après les deux premiers est égal à la somme des deux termes qui le précèdent immédiatement : F(n) = F(n−1) + F(n−2). Elle a été introduite dans les mathématiques d'Europe occidentale par Léonard de Pise (Fibonacci) dans son ouvrage de 1202 Liber Abaci.
Qu'est-ce que le nombre d'or et quel est son rapport avec les nombres de Fibonacci ?
Le nombre d'or, φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887, est la valeur vers laquelle converge le rapport de deux nombres de Fibonacci consécutifs à mesure que la suite progresse. Par exemple, 610 / 377 ≈ 1,618037, déjà très proche de φ. Les deux sont liés exactement, et non approximativement, par la formule de Binet, qui exprime chaque nombre de Fibonacci directement en fonction de φ.
Qu'est-ce que la formule de Binet ?
La formule de Binet est une expression en forme close du nᵉ nombre de Fibonacci sans avoir à calculer tous les termes précédents : F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, où φ = (1 + √5)/2 et ψ = (1 − √5)/2. Elle donne des résultats exacts — par exemple, F(10) = 55 et F(20) = 6 765, tous deux correspondant au calcul direct par la récurrence.
Est-il vrai que les tournesols et les pommes de pin suivent la suite de Fibonacci ?
En grande partie oui, et c'est l'un des liens naturels les mieux documentés avec les nombres de Fibonacci. De nombreux capitules de tournesol, pommes de pin et ananas présentent deux familles de spirales opposées dont les décomptes sont typiquement des nombres de Fibonacci consécutifs, un schéma qui, selon des modèles mathématiques et physiques de la croissance végétale (la phyllotaxie), dont les travaux de Douady et Couder, émerge de la façon dont de nouvelles structures végétales s'empilent efficacement en croissant vers l'extérieur selon un angle lié au nombre d'or.
Le nombre d'or se retrouve-t-il vraiment dans le Parthénon et le corps humain ?
Les preuves de ces affirmations précises sont faibles. Des mathématiciens et des historiens, dont George Markowsky dans son article de 1992 « Misconceptions about the Golden Ratio », ont montré que beaucoup d'affirmations populaires sur le nombre d'or dans le Parthénon, les proportions du corps humain et des œuvres d'art célèbres reposent sur des mesures sélectives ou des arrondis plutôt que sur un usage documenté et intentionnel de φ, et devraient être traitées comme non vérifiées plutôt qu'établies.
Références
- Weisstein EW. "Fibonacci Number" and "Golden Ratio." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Livio M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. Broadway Books, 2002.
- Markowsky G. "Misconceptions about the Golden Ratio." The College Mathematics Journal, 1992;23(1):2-19.
- Jean RV. Phyllotaxis: A Systemic Study in Plant Morphogenesis. Cambridge University Press, 1994.
- Devlin K. "The Myth That Will Not Go Away." Devlin's Angle, Mathematical Association of America, May 2007.