Ihr Barwert-Ergebnis verstehen
Der Diskontsatz bestimmt die Bewertung stark. Die Tabelle bepreist den $1.000/Monat-, 20-Jahres-Strom des Rechenbeispiels zu verschiedenen Sätzen neu — höhere Sätze machen künftiges Geld heute weniger wert.
| Diskontsatz | Barwert von $1.000/Mon. für 20 Jahre |
|---|---|
| 3% | $180.311 |
| 5% | $151.525 |
| 7% | $128.983 |
- Dies bildet eine nachschüssige Annuität ab (Zahlungen am Monatsende); eine vorschüssige Annuität (Monatsanfang) ist um einen Faktor (1+r) mehr wert — etwa 0,42% bei 5%.
- Die Zahlungen werden als fest angenommen; die Bewertung eines inflationsindexierten Stroms erfordert einen realen (inflationsbereinigten) Diskontsatz statt eines nominalen.
- Das Ergebnis ist hochgradig empfindlich gegenüber dem Diskontsatz, der eine Beurteilung über alternative Renditen und Risiko ist — Renten- und Vergleichsangebote betten oft einen Satz ein, der ungünstiger ist als die Alternativen des Empfängers.
- Nur pädagogische Berechnung; die Bewertung eines tatsächlichen Auszahlungs-, Vergleichs- oder Rentenkaufs beinhaltet Steuern, Kreditrisiko und Langlebigkeitsüberlegungen jenseits dieser Formel.
Was ist der Barwert einer Annuität?
Eine Annuität im Sinne des Zeitwerts des Geldes ist jeder Strom gleicher Zahlungen in regelmäßigen Abständen — eine Rentenleistung, Kreditraten, Leasingraten, ein strukturierter Rechtsvergleich oder Anleihekupons. Ihr Barwert ist der einzelne heutige Betrag, der dem gesamten Strom finanziell gleichwertig ist, berechnet durch Diskontierung jeder Zahlung zu einem gewählten Satz. Das Konzept ist Kerncurriculum in der Unternehmensfinanzierung und im Material zu quantitativen Methoden des CFA Institute.
Die Diskontierung spiegelt wider, dass jetzt verfügbares Geld eine Rendite verdienen kann: Eine in 20 Jahren ankommende Zahlung ist heute viel weniger wert als eine, die nächsten Monat ankommt. Die Summierung der diskontierten Zahlungen ergibt einen Wert deutlich unter der einfachen Summe — im Rechenbeispiel ergeben 240 monatliche Zahlungen à $1.000 nominal $240.000, aber bei einem 5%-Diskontsatz sind sie heute $151.525 wert. Die Lücke von $88.475 ist der Zeitwert-Diskont.
Diese Berechnung ist die mathematische Grundlage für die Bepreisung von Krediten (ein Kreditkapital ist der Barwert seiner Zahlungen), die Bewertung von Renten-Auszahlungsangeboten, den Vergleich von Lotterie-Pauschalbetrag gegenüber Rentenoptionen und die Bepreisung festverzinslicher Instrumente. Dieser Rechner bildet eine nachschüssige Annuität ab — Zahlungen am Ende jedes Monats; ein Strom, der am Anfang jeder Periode zahlt (vorschüssige Annuität), ist einen Monatszins mehr wert.
So verwenden Sie diesen Barwert-einer-Annuität-Rechner
- Geben Sie die jeden Monat erhaltene (oder gezahlte) Zahlung ein.
- Geben Sie den jährlichen Diskontsatz ein — die Rendite, die das Geld in einer vergleichbaren Alternative verdienen könnte, oder den im bewerteten Deal angebotenen Satz.
- Geben Sie ein, wie viele Jahre die Zahlungen fortlaufen.
- Lesen Sie den Barwert, die undiskontierte Summe der Zahlungen und den Diskont zwischen beiden ab.
- Rechenbeispiel: $1.000 pro Monat für 20 Jahre bei einem 5%-Diskontsatz hat einen Barwert von $151.525,31, gegenüber $240.000 an undiskontierten Zahlungen — ein Zeitwert-Diskont von $88.474,69.
Die Barwert-einer-Annuität-Formel
Jede Zahlung wird durch (1+r) hoch der Anzahl der Monate bis zu ihrem Eintreffen diskontiert; die Summierung der geometrischen Reihe ergibt den geschlossenen Annuitätenfaktor [1 − (1+r)^−n] ÷ r. Die Multiplikation der Zahlung mit diesem Faktor ergibt den Barwert einer nachschüssigen Annuität (Zahlungen am Periodenende).
Dieselbe Formel liegt der Kreditmathematik umgekehrt zugrunde: Ein Kreditgeber, der $151.525 bei 5% für 20 Jahre vorschießt, würde fast genau $1.000 pro Monat berechnen. Der Zeitwert-Diskont ist die undiskontierte Summe minus dem Barwert — die im Strom eingebetteten aggregierten Zinsen.
Häufige Fehler
- Der Vergleich eines Pauschalbetrag-Angebots gegen die undiskontierte Summe der Zahlungen — $240.000 künftiger Zahlungen sind heute nicht $240.000 wert; der faire Vergleich ist gegen den Barwert.
- Die Verwendung einer Jahresformel auf monatliche Zahlungen (oder umgekehrt) — Satz und Periodenzahl müssen zur Zahlungsfrequenz passen.
- Die Vernachlässigung, ob Zahlungen am Anfang oder Ende jeder Periode ankommen; vorschüssige Annuitäten sind (1+r)-mal mehr wert als nachschüssige.
- Die Anwendung eines nominalen Diskontsatzes auf inflationsindexierte Zahlungen, was den Strom unterbewertet.
- Die Behandlung des Diskontsatzes als objektiv — kleine Änderungen bewegen die Bewertung stark, und wer in einem Angebot den Satz festlegt, prägt das Ergebnis.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Barwert von $1.000 monatlich für 20 Jahre?
Bei einem 5%-Jahresdiskontsatz $151.525,31 — die Formel PV = 1000 × [1 − (1 + 0,05/12)^−240] ÷ (0,05/12). Die 240 Zahlungen ergeben nominal $240.000; die Differenz von $88.475 ist der Zeitwert-Diskont, der widerspiegelt, dass die meisten dieser Zahlungen Jahre in der Zukunft ankommen. Bei einem 3%-Satz ist der Strom $180.311 wert; bei 7% $128.983.
Welchen Diskontsatz sollte ich zur Bewertung einer Annuität verwenden?
Die Rendite, die bei einer vergleichbaren Alternative mit ähnlichem Risiko und ähnlicher Laufzeit verfügbar ist. Zur Bewertung eines sicheren Zahlungsstroms sind Renditen von Staatspapieren passender Laufzeit ein gängiger Richtwert; für riskantere Ströme gilt ein höherer Satz. Die Wahl spielt eine große Rolle — die Bewertung des Rechenbeispiels bewegt sich zwischen 3% und 5% um etwa $29.000 —, weshalb Angebote bei mehreren Sätzen getestet werden sollten.
Was ist der Unterschied zwischen einer nachschüssigen und einer vorschüssigen Annuität?
Eine nachschüssige Annuität zahlt am Ende jeder Periode (die meisten Kredite und Anleihen); eine vorschüssige Annuität zahlt am Anfang (die meisten Mieten und viele Versicherungsauszahlungen). Jede Zahlung einer vorschüssigen Annuität kommt eine Periode früher an, sodass ihr Barwert um einen Faktor (1+r) höher ist — etwa 0,42% für monatliche Zahlungen bei einem 5%-Jahressatz. Dieser Rechner bildet die nachschüssige Form ab.
Wie wird dies zur Bewertung eines Renten-Auszahlungs- oder Vergleichsangebots verwendet?
Berechnen Sie den Barwert des aufgegebenen Zahlungsstroms zu einem Diskontsatz, der Ihre realistischen Alternativen widerspiegelt, und vergleichen Sie ihn mit dem angebotenen Pauschalbetrag. Liegt der Pauschalbetrag wesentlich unter dem Barwert, bettet das Angebot einen ungünstigen Satz ein. Reale Entscheidungen beinhalten auch Steuern, das Kreditrisiko des Zahlers, Inflationsschutz und Langlebigkeit, sodass der Barwert der Ausgangspunkt ist, nicht die ganze Analyse — und keine Finanzberatung.
Warum ist der Barwert so viel kleiner als die Summe der Zahlungen?
Weil Geld einen Zeitwert hat: Eine im Jahr 19 ankommende Zahlung hätte 19 Jahre lang den Diskontsatz verdienen können, wäre sie heute erhalten worden, sodass ihr heutiges Äquivalent viel kleiner ist. Bei 5% ist eine in 20 Jahren fällige $1.000-Zahlung heute nur etwa $369 wert. Die Summierung von 240 solcher diskontierter Werte ergibt $151.525 statt $240.000 — je später die Zahlung, desto tiefer ihr Diskont.
Quellenangaben
- CFA Institute. Quantitative Methods — the time value of money. CFA Program Curriculum.
- Ross SA, Westerfield RW, Jordan BD. Fundamentals of Corporate Finance. 13th ed. McGraw-Hill Education, 2021 — discounted cash flow valuation.
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance. 13th ed. McGraw-Hill Education, 2020.
- U.S. Securities and Exchange Commission (SEC). Investor.gov — annuities investor information. investor.gov.