Endwert: wozu regelmäßige Einzahlungen anwachsen
Die Ansparphase einer Rente ist der Zeitraum, in dem feste Einzahlungen auf ein Konto geleistet werden und bis zu einem künftigen Zieldatum, etwa dem Ruhestand, zu einer bestimmten Rendite anwachsen. Dieser Rechner bildet eine nachschüssige Rente ab -- jede Zahlung erfolgt am Ende jeder Periode, die übliche Konvention für die meisten Altersvorsorge-Einzahlungspläne wie 401(k)- oder IRA-Gehaltsabzüge.
Rechenbeispiel: $500 monatlich eingezahlt bei 7% Jahresrendite über 20 Jahre (240 Monate) wachsen auf einen Endwert von $260.463,33. Die gesamten Einzahlungen über diesen Zeitraum betragen $120.000 (240 Zahlungen à $500), was bedeutet, dass das Wachstum allein durch die Rendite $140.463,33 des Endbetrags ausmacht.
- Endwert FV = PMT × [((1 + r)^n − 1) ÷ r], wobei PMT = monatliche Zahlung, r = Jahreszins ÷ 12, n = Jahre × 12
- Gesamteinzahlungen = PMT × n; Wachstum = FV − Gesamteinzahlungen
Barwert: was ein künftiger Zahlungsstrom heute wert ist
Der Barwert beantwortet eine andere Frage: Was ist ein Strom gleicher künftiger Zahlungen -- eine Pensionsleistung, eine strukturierte Abfindung, Mieteinnahmen -- heute wert, gegeben einen Abzinsungssatz, der den Zeitwert des Geldes widerspiegelt? Die Abzinsung spiegelt wider, dass heute verfügbares Geld eine Rendite erwirtschaften kann, sodass eine in 20 Jahren fällige Zahlung heute deutlich weniger wert ist als eine im nächsten Monat fällige.
Rechenbeispiel: $1.000 pro Monat über 20 Jahre bei einem Abzinsungssatz von 5% haben einen Barwert von $151.525,31, gegenüber $240.000 an undiskontierten Zahlungen -- ein Zeitwert-Abschlag von $88.474,69. Dieselbe Formel liegt auch der Kreditmathematik in umgekehrter Richtung zugrunde: Ein Kreditgeber, der $151.525 zu 5% über 20 Jahre vorstreckt, würde nahezu genau $1.000 pro Monat verlangen.
| Abzinsungssatz | Barwert von $1.000/Monat über 20 Jahre |
|---|---|
| 3% | $180.311 |
| 5% | $151.525 |
| 7% | $128.983 |
Auszahlung: welches gleichbleibende Einkommen ein Einmalbetrag tragen kann
Eine Auszahlungsberechnung ermittelt die gleichbleibende periodische Zahlung, die ein festes Anfangskapital über eine festgelegte Anzahl von Jahren tragen kann, so strukturiert, dass der Saldo am Ende des Zeitraums vollständig aufgebraucht ist -- das Gegenstück zu einer Ansparberechnung. Dies wird manchmal als zeitlich befristete Auszahlung bezeichnet, im Unterschied zu einem lebenslangen Rentenprodukt, das so lange zahlt, wie der Rentenempfänger lebt.
Rechenbeispiel: Ein Kapital von $500.000 bei 5% Jahreszins über 25 Jahre (300 Monate) trägt eine gleichbleibende monatliche Auszahlung von $2.922,95 -- eine jährliche Auszahlung von $35.075,40 -- bei insgesamt $876.885,06 ausgezahltem Betrag über den gesamten Zeitraum. Der Überschuss über das ursprüngliche Kapital von $500.000 stellt das laufende Anlagewachstum während der Auszahlungsphase dar, das es überhaupt ermöglicht, dass die Auszahlung über die einfache Division Kapital durch Monate hinausgeht.
- Monatliche Auszahlung PMT = P × r ÷ [1 − (1 + r)^−n], wobei P = Kapital, r = Jahreszins ÷ 12, n = Jahre × 12
Wie die drei zusammenpassen
Endwert, Barwert und Auszahlung sind drei Blickwinkel auf dieselbe zugrunde liegende Rentenmathematik, angewandt in unterschiedliche Richtungen: Der Endwert projiziert Einzahlungen vorwärts zu einem Einmalbetrag; der Barwert diskontiert einen künftigen Zahlungsstrom zurück in heutige Werte; und die Auszahlung wandelt einen bestehenden Einmalbetrag in einen tragfähigen Einkommensstrom um. Alle drei setzen eine nachschüssige Rente (Zahlungen am Periodenende) und einen über den gesamten Zeitraum konstanten Zinssatz voraus -- keine von ihnen bildet Steuern, Gebühren, Inflationsanpassungen oder die versichererspezifische Sterblichkeitskalkulation eines kommerziell erworbenen lebenslangen Rentenprodukts ab.
Häufig gestellte Fragen
Auf wie viel wachsen $500 pro Monat bei 7% über 20 Jahre?
Nach der Endwertformel einer nachschüssigen Rente wachsen $500 monatlich bei 7% Jahresrendite über 20 Jahre (240 Monate) auf $260.463,33 -- $120.000 aus Einzahlungen und $140.463,33 aus Wachstum.
Was ist der Barwert einer monatlichen Zahlung von $1.000?
Das hängt vom Abzinsungssatz und der Dauer ab. $1.000 pro Monat über 20 Jahre bei einem Abzinsungssatz von 5% sind heute $151.525,31 wert, gegenüber $240.000 undiskontiert -- ein Zeitwert-Abschlag von $88.474,69.
Wie viel monatliches Einkommen kann $500.000 liefern?
Bei einer angenommenen Jahresrendite von 5% über 25 Jahre trägt ein Kapital von $500.000 eine gleichbleibende monatliche Auszahlung von $2.922,95 und zehrt das Kapital bis zum Ende des Zeitraums vollständig auf.
Was ist der Unterschied zwischen einer nachschüssigen und einer vorschüssigen Rente?
Eine nachschüssige Rente geht davon aus, dass Zahlungen am Ende jeder Periode erfolgen; eine vorschüssige Rente geht von Zahlungen zu Periodenbeginn aus. Da vorschüssige Zahlungen jeweils eine Periode länger verzinst werden, ergeben sie einen etwas höheren Endwert -- und einen etwas höheren Barwert, um einen Faktor von rund 0,42% bei 5% Jahreszins -- als eine ansonsten identische nachschüssige Rente.
Bildet dies eine lebenslange Rente einer Versicherungsgesellschaft ab?
Nein. Dies sind zeitlich befristete Berechnungen auf Basis eines festen Zinssatzes, Kapitals und Zeitraums. Eine kommerziell erworbene lebenslange Rente enthält versichererspezifische Gebühren, Garantien, Rückkaufsabschläge und sterblichkeitsbasierte Kalkulation, die diese Formeln nicht abbilden.
Quellenangaben
- U.S. Securities and Exchange Commission (SEC), Investor.gov — annuities overview and investor bulletins. https://www.investor.gov/
- Financial Industry Regulatory Authority (FINRA) — Annuities: how they work and what to consider. https://www.finra.org/
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance. 13th ed. McGraw-Hill Education, 2020 — annuity mathematics.