Koordinaten auf dem Einheitskreis: (cos theta, sin theta)
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit exakt Radius 1, zentriert im Ursprung (0,0) einer Koordinatenebene. Für jeden Winkel theta, gegen den Uhrzeigersinn ausgehend von der positiven x-Achse gemessen, ergibt eine Linie vom Ursprung in diesem Winkel an ihrem Schnittpunkt mit dem Kreis einen Punkt, dessen x-Koordinate cos(theta) und dessen y-Koordinate sin(theta) entspricht -- direkt, ohne jede Skalierung, da der Radius des Kreises 1 ist.
Dies ist die geometrische Definition, die jeder trigonometrischen Identität zugrunde liegt: Kosinus ist per Definition die x-Koordinate auf dem Einheitskreis bei einem gegebenen Winkel, und Sinus ist die y-Koordinate. Der Tangens ergibt sich direkt als Verhältnis der beiden: tan(theta) = sin(theta) / cos(theta), was geometrisch die Steigung der Linie vom Ursprung zu jenem Punkt auf dem Kreis darstellt.
Quadrantenvorzeichen: wo Sinus und Kosinus positiv oder negativ sind
Die Koordinatenebene wird durch die x- und y-Achse in vier Quadranten unterteilt, und da Sinus und Kosinus schlicht die y- und x-Koordinaten eines Punkts auf dem Einheitskreis sind, ergeben sich ihre Vorzeichen in jedem Quadranten direkt aus dem Vorzeichen der Koordinaten in diesem Quadranten.
Dieses Muster wird gelegentlich mit der Eselsbrücke "Alle Schüler Trinken Cola" erinnert, die sich darauf bezieht, welche Funktionen in jedem Quadranten gegen den Uhrzeigersinn ab Quadrant I positiv sind: Alle drei Funktionen sind in Quadrant I positiv, nur der Sinus in Quadrant II, nur der Tangens in Quadrant III und nur der Kosinus in Quadrant IV.
| Quadrant | Winkelbereich | sin theta | cos theta | tan theta |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°-90° | positiv | positiv | positiv |
| II | 90°-180° | positiv | negativ | negativ |
| III | 180°-270° | negativ | negativ | positiv |
| IV | 270°-360° | negativ | positiv | negativ |
Referenzwinkel: exakte Werte außerhalb von Quadrant I finden
Ein Referenzwinkel ist der spitze Winkel, stets zwischen 0 und 90 Grad, der zwischen dem Endschenkel eines Winkels und dem nächstgelegenen Punkt der x-Achse gebildet wird. Referenzwinkel ermöglichen es, den exakten Sinus, Kosinus oder Tangens jedes beliebigen Winkels zu bestimmen, indem man ihn auf einen der fünf Standardwinkel in Quadrant I zurückführt und dann das richtige Vorzeichen für den Quadranten anwendet, in dem der ursprüngliche Winkel tatsächlich liegt.
Zum Beispiel liegt ein Winkel von 150 Grad in Quadrant II, und sein Referenzwinkel ist 180 - 150 = 30 Grad. Da der Sinus in Quadrant II positiv ist, entspricht sin(150 Grad) dem positiven sin(30 Grad) = 0,5. Der Kosinus ist in Quadrant II negativ, sodass cos(150 Grad) dem negativen cos(30 Grad) entspricht, etwa -0,8660. Der Referenzwinkel liefert den Betrag; der Quadrant liefert das Vorzeichen.
Die Standardtabelle für 0/30/45/60/90 Grad
Fünf Winkel -- 0, 30, 45, 60 und 90 Grad, alle in Quadrant I -- haben Sinus- und Kosinuswerte, die sich als exakte Zahlen statt langer Dezimalzahlen ausdrücken lassen, und sie bilden die Grundlage, um exakte trigonometrische Werte bei jedem anderen Standardwinkel über Referenzwinkel zu finden. Die folgende Tabelle listet sowohl die exakte Form als auch die Dezimalnäherung für jeden Wert auf.
Beachten Sie die Symmetrie: Die Sinuswerte von 0 bis 90 Grad (0, 1/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2, 1) sind exakt die Kosinuswerte in umgekehrter Reihenfolge, eine direkte Folge davon, dass Sinus und Kosinus komplementäre Funktionen sind -- sin(theta) = cos(90 Grad - theta) für jeden Winkel theta.
| Winkel | sin theta (exakt) | sin theta (Dezimalzahl) | cos theta (exakt) | cos theta (Dezimalzahl) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 30° | 1/2 | 0,5 | sqrt(3)/2 | 0,8660 |
| 45° | sqrt(2)/2 | 0,7071 | sqrt(2)/2 | 0,7071 |
| 60° | sqrt(3)/2 | 0,8660 | 1/2 | 0,5 |
| 90° | 1 | 1 | 0 | 0 |
Koterminale Winkel und mehr als eine Umdrehung
Winkel größer als 360 Grad oder negative Winkel entsprechen weiterhin einem bestimmten Punkt auf dem Einheitskreis -- sie umrunden den Kreis lediglich ein- oder mehrmals zusätzlich. Ein koterminaler Winkel ist der äquivalente Winkel innerhalb einer einzigen Umdrehung von 0 bis 360 Grad, gefunden durch Addieren oder Subtrahieren von Vielfachen von 360 Grad, bis das Ergebnis in diesem Bereich liegt.
Zum Beispiel hat ein Winkel von 405 Grad einen koterminalen Winkel von 405 - 360 = 45 Grad, das heißt, beide Winkel zeigen auf exakt dieselbe Stelle auf dem Einheitskreis und teilen daher identische Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte. Ebenso hat ein Winkel von -30 Grad einen koterminalen Winkel von -30 + 360 = 330 Grad, der in Quadrant IV liegt.
Häufig gestellte Fragen
Was sind die Koordinaten eines Punkts auf dem Einheitskreis bei einem gegebenen Winkel?
Für jeden Winkel theta, gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen, hat der entsprechende Punkt auf dem Einheitskreis exakt die Koordinaten (cos theta, sin theta) -- die x-Koordinate ist stets der Kosinus des Winkels, und die y-Koordinate ist stets der Sinus des Winkels, ohne zusätzliche Skalierung, da der Radius des Kreises 1 ist.
Wie lautet der exakte Wert von sin(60 Grad)?
sin(60 Grad) entspricht der Quadratwurzel von 3 geteilt durch 2, ein exakter Wert von etwa 0,8660. Seine komplementäre Kofunktion, cos(60 Grad), entspricht exakt 1/2 = 0,5, im Einklang mit sin(60 Grad) = cos(90 Grad - 60 Grad) = cos(30 Grad).
Wie findet man einen Referenzwinkel?
Ein Referenzwinkel ist der spitze Winkel zwischen dem Endschenkel eines Winkels und der nächstgelegenen x-Achse. In Quadrant II subtrahiert man den Winkel von 180 Grad; in Quadrant III subtrahiert man 180 Grad vom Winkel; in Quadrant IV subtrahiert man den Winkel von 360 Grad. Für 150 Grad (Quadrant II) ist der Referenzwinkel 180 - 150 = 30 Grad.
Warum ist der Kosinus in Quadrant II negativ?
Weil der Kosinus der x-Koordinate eines Punkts auf dem Einheitskreis entspricht und jeder Punkt in Quadrant II (Winkel zwischen 90 und 180 Grad) eine negative x-Koordinate hat, da er links von der y-Achse liegt. Der Sinus bleibt dort positiv, da Punkte in Quadrant II weiterhin eine positive y-Koordinate haben.
Was ist ein koterminaler Winkel?
Ein koterminaler Winkel ist ein Winkel, der nach Reduzierung (oder Erweiterung) um eine ganze Zahl voller 360-Grad-Umdrehungen auf exakt demselben Punkt des Einheitskreises landet. Ein Winkel von 405 Grad hat einen koterminalen Winkel von 405 - 360 = 45 Grad, da beide dieselbe Position auf dem Kreis beschreiben und daher identische Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte teilen.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (unit circle definitions and the standard angle table).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (unit circle and reference angles).