Ihr Ableitungsergebnis verstehen
Liegt ein Ergebnis vor, so zeigt das Vorzeichen der zweiten Ableitung die lokale Krümmung der Funktion bei x0 an — ein Standardergebnis der Analysis.
| f″(x₀) | Krümmung bei x₀ |
|---|---|
| Positiv | Linksgekrümmt (konvex) — die Funktion wölbt sich nahe x₀ nach oben, wie ein Tal |
| Negativ | Rechtsgekrümmt (konkav) — die Funktion wölbt sich nahe x₀ nach unten, wie ein Hügel |
| Bei oder nahe null | Möglicher Wendepunkt — die Krümmung kann nahe x₀ wechseln; eine weitere Prüfung ist nötig |
- Dies ist eine numerische Schätzung und keine symbolische Ableitung — der Rechner erzeugt niemals eine allgemeine Formel f'(x), sondern gibt allein den Wert der Ableitung an der einen eingegebenen Stelle x0 zurück.
- Zulässige Ausdruckssyntax: die Funktionen sin, cos, tan, asin, acos, atan, sqrt, cbrt, abs, ln (natürlicher Logarithmus), log (Zehnerlogarithmus), log2 (Zweierlogarithmus), exp, floor, ceil, round, min, max; die Konstanten pi, e und tau; die Operatoren + − * / % ^; sowie die Variable x. Trigonometrische Funktionen rechnen im Bogenmaß.
- Funktionen mit Unstetigkeitsstellen, Knicken oder undefinierten Werten in der Nähe von x0 — etwa in der Umgebung einer senkrechten Asymptote — können die Differenzenschätzung ungenau machen oder gar kein Ergebnis liefern.
- Die numerische Schätzung besitzt bei glatten, gutartigen Funktionen einen kleinen, bei der angezeigten Genauigkeit meist vernachlässigbaren Abbruchfehler; bei Funktionen mit raschen lokalen Änderungen kann dieser Fehler jedoch anwachsen.
Was ist eine numerische Ableitung?
Eine Ableitung misst die momentane Änderungsrate einer Funktion an einer Stelle — geometrisch die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen an dieser Stelle. Die symbolische Differentiation liefert eine allgemeine Formel f'(x), die für jedes x gilt. Dieser Rechner berechnet stattdessen eine numerische Ableitung: Er schätzt f'(x0), also eine einzelne Zahl, genau an der von Ihnen eingegebenen Stelle x0, ohne jemals die allgemeine Formel f'(x) zu erzeugen.
Das verwendete numerische Verfahren ist eine 5-Punkte-Zentraldifferenz: Der Rechner wertet f an mehreren Stellen sehr nahe bei x0 auf beiden Seiten aus und verbindet diese Werte zu einer sehr genauen Schätzung der Steigung bei x0, deren Fehler proportional zur vierten Potenz der Schrittweite schrumpft. Es handelt sich um eine etablierte Standardtechnik der numerischen Mathematik, die sich von der symbolischen Differentiation eines Computeralgebrasystems grundlegend unterscheidet.
Da das Ergebnis numerisch ist, erfordert die Auswertung der Ableitung an einer anderen Stelle einen erneuten Durchlauf mit dem neuen x0 — es wird kein algebraischer Ausdruck für f'(x) zurückgegeben, der sich unmittelbar an weiteren Stellen auswerten ließe.
So verwenden Sie diesen Ableitungsrechner
- Geben Sie eine Funktion in x ein, zum Beispiel x^3 - 2*x + 1, sin(x)/x oder sqrt(x) + ln(x). Die Multiplikation muss ausdrücklich mit * geschrieben werden, Potenzen mit ^.
- Geben Sie die Stelle x0 ein, an der die Ableitung ausgewertet werden soll.
- Lesen Sie f'(x0) ab, die numerische Ableitung an dieser Stelle, sowie f(x0), den dortigen Funktionswert.
- Ist die Funktion in der Umgebung von x0 zweimal differenzierbar, lesen Sie außerdem f''(x0) ab, die numerische zweite Ableitung, sowie die Gleichung der Tangente, die die beste lineare Näherung von f in der Nähe von x0 liefert.
Die Formel hinter der numerischen Ableitung
Die 5-Punkte-Zentraldifferenz schätzt f'(x0) ≈ [−f(x0+2h) + 8f(x0+h) − 8f(x0−h) + f(x0−2h)] / (12h) — eine klassische Differenzenformel, deren Fehler proportional zu h⁴ ist; eine Halbierung der Schrittweite h verringert den Fehler somit um rund den Faktor 16.
Die zweite Ableitung wird mit einer einfacheren Zentraldifferenz geschätzt: f''(x0) ≈ [f(x0+h) − 2f(x0) + f(x0−h)] / h². Ihr Vorzeichen zeigt die lokale Krümmung an: Ein positiver Wert bedeutet, dass die Funktion in der Nähe von x0 linksgekrümmt (konvex) verläuft, ein negativer Wert, dass sie rechtsgekrümmt (konkav) verläuft.
Die Tangente an der Stelle x0, also die beste geradlinige Näherung von f in deren Umgebung, lautet y = f'(x0)(x − x0) + f(x0).
Rechenbeispiel: f(x) = x³ − 2x + 1 an der Stelle x0 = 2. Die numerische Ableitung beträgt f'(2) = 10 und stimmt mit der symbolischen Ableitung 3x² − 2 an der Stelle x = 2 überein (3×4 − 2 = 10). Der Funktionswert ist f(2) = 8 − 4 + 1 = 5, die Tangente lautet daher y = 10(x − 2) + 5.
Häufige Fehler
- Eine symbolische Formel wie »3x² − 2« erwarten — dieser Rechner gibt allein den Zahlenwert der Ableitung an der einen eingegebenen Stelle x0 zurück, und zwar über eine Differenzennäherung und nicht über symbolische (algebraische) Differentiation.
- Implizite Multiplikation wie 2x statt 2*x schreiben oder ** statt ^ für Potenzen verwenden — der Parser verlangt ausdrückliche Operatoren aus dem zulässigen Vorrat.
- An einer Stelle auswerten, an der die Funktion undefiniert oder unstetig ist, etwa 1/x bei x0 = 0, was die Differenzenschätzung unzuverlässig macht oder gar kein Ergebnis liefert.
- Annehmen, das numerische Ergebnis sei beliebig genau — das Zentraldifferenzenverfahren besitzt einen kleinen, aber von null verschiedenen Abbruchfehler, der bei glatten Funktionen in den angezeigten Nachkommastellen meist unsichtbar bleibt.
- log als natürlichen Logarithmus lesen — in der Syntax dieses Rechners ist ln der natürliche Logarithmus (Basis e), log der Zehnerlogarithmus und log2 der Zweierlogarithmus.
Häufig gestellte Fragen
Liefert dieser Rechner die Ableitungsformel, etwa f'(x) = 3x² − 2?
Nein. Dieser Rechner gibt allein den Zahlenwert der Ableitung an der von Ihnen eingegebenen Stelle x0 zurück, berechnet mit einem numerischen Differenzenverfahren. Um das Verhalten der Ableitung an einer anderen Stelle zu erfahren, geben Sie diese Stelle als neues x0 ein und rechnen erneut.
Welches numerische Verfahren verwendet dieser Ableitungsrechner?
Eine 5-Punkte-Zentraldifferenz: f'(x0) ≈ [−f(x0+2h) + 8f(x0+h) − 8f(x0−h) + f(x0−2h)] / (12h), eine Standardformel der numerischen Mathematik mit einem Fehler proportional zu h⁴.
Welche Funktionen und Operatoren sind im Ausdruck zulässig?
sin, cos, tan, asin, acos, atan, sqrt, cbrt, abs, ln, log, log2, exp, floor, ceil, round, min, max; die Konstanten pi, e und tau; die Operatoren + − * / % ^; sowie die Variable x. Trigonometrische Funktionen werden im Bogenmaß ausgewertet.
Wie genau ist die numerische Ableitung?
Bei glatten, gutartigen Funktionen ist das 5-Punkte-Zentraldifferenzenverfahren weit über die angezeigten Nachkommastellen hinaus genau. Die Genauigkeit leidet in der Nähe von Unstetigkeitsstellen, Knicken oder Stellen, an denen die Funktion dicht bei x0 undefiniert ist.
Was bedeutet das Ergebnis zur Tangente?
Die Tangente y = f'(x0)(x − x0) + f(x0) ist die beste geradlinige Näherung der Funktion in der Nähe von x0. Sie berührt die Kurve im Punkt (x0, f(x0)) und besitzt an genau dieser Stelle dieselbe Steigung wie die Funktion.
Warum fehlt die zweite Ableitung manchmal in den Ergebnissen?
Die zweite Ableitung verwendet eine eigene Zentraldifferenzenformel und wird nur ausgegeben, wenn diese Rechnung einen endlichen Wert liefert — ist die Funktion unmittelbar um x0 herum undefiniert oder unstetig, so entfällt die Schätzung der zweiten Ableitung.
Quellenangaben
- Burden RL, Faires JD. Numerical Analysis. Cengage Learning (finite-difference approximations to derivatives).
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press (numerical differentiation).
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (the derivative as instantaneous rate of change and slope of the tangent line).
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 3: Numerical Methods — finite-difference formulas. dlmf.nist.gov.