Ihr Integralergebnis verstehen
Die folgende Tabelle führt einige bestimmte Standardintegrale mit bekannten exakten Werten auf — nützlich, um das Verhalten dieses numerischen Rechners bei einfachen Funktionen zu überprüfen.
| Funktion f(x) | Intervall [a, b] | Exaktes Integral |
|---|---|---|
| x | [0, 1] | 0,5 |
| x² | [0, 1] | 0,33333333 (1/3) |
| 1/x | [1, e] | 1 |
| sin(x) | [0, pi] | 2 |
- Dieser Rechner liefert eine numerische Näherung des bestimmten Integrals und nicht die Stammfunktion F(x) — die unbestimmte Integration (das Auffinden einer allgemeinen Formel samt Konstante C) ist eine andere, symbolische Operation, die dieses Werkzeug nicht ausführt.
- Ein Vertauschen der Grenzen kehrt das Vorzeichen um: ∫ᵦᵃ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx ist eine Standardeigenschaft bestimmter Integrale und kein Fehlerfall.
- Eine Integration über eine Singularität oder Unstetigkeitsstelle innerhalb von [a, b] — etwa 1/x über x = 0 oder tan(x) über x = π/2 — kann ein ungenaues oder gar kein Ergebnis liefern, da die Simpson-Regel einen stetigen, gutartigen Integranden über dem gesamten Intervall voraussetzt.
- Die Genauigkeit ist bei glatten Funktionen auf einem endlichen Intervall sehr hoch, doch stark oszillierende oder nahezu singuläre Integranden sind für jedes numerische Verfahren schwerer präzise zu erfassen.
Was ist ein numerisch bestimmtes Integral?
Ein bestimmtes Integral ∫ₐᵇ f(x) dx bezeichnet den vorzeichenbehafteten Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse über dem Intervall von a bis b: Flächen, in denen f(x) positiv ist, zählen positiv, Flächen mit negativem f(x) zählen negativ. Dieser Rechner ermittelt diese Zahl unmittelbar, ohne eine symbolische Stammfunktion F(x) herzuleiten — er gibt niemals eine Formel wie »x³/3 + C« aus, sondern allein den einen Zahlenwert des Integrals für die eingegebenen Grenzen.
Das verwendete Verfahren ist die adaptive zusammengesetzte Simpson-Regel: Das Intervall [a, b] wird in viele Teilintervalle zerlegt, über je zwei benachbarte Teilintervalle wird ein Parabelbogen gelegt, und die Flächen unter diesen Parabeln werden aufsummiert. Die Zahl der Unterteilungen wird so lange verdoppelt, bis aufeinanderfolgende Schätzungen bis auf eine enge numerische Toleranz übereinstimmen, was bei glatten, stetigen Funktionen hohe Genauigkeit liefert.
Der Rechner weist zudem den Mittelwert von f über [a, b] aus, der nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung als Integral geteilt durch die Intervallbreite definiert ist, (1 / (b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx — also die konstante Höhe, die ein Rechteck über [a, b] besitzen müsste, um denselben Flächeninhalt wie das Integral zu haben.
So verwenden Sie diesen Integralrechner
- Geben Sie eine Funktion in x ein, zum Beispiel x^2, sin(x) oder exp(-x^2). Die Multiplikation muss ausdrücklich mit * geschrieben werden, Potenzen mit ^.
- Geben Sie die untere Grenze a und die obere Grenze b des Intervalls ein.
- Ist b kleiner als a, so gibt der Rechner das negative Integral von b bis a zurück — die übliche Vorzeichenkonvention bei vertauschten Grenzen.
- Lesen Sie den Wert des bestimmten Integrals ab und, sofern sich a und b unterscheiden, den Mittelwert der Funktion über diesem Intervall.
Die Formel hinter dem numerischen Integral
Die zusammengesetzte Simpson-Regel nähert ∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3) × [f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)], wobei das Intervall in n gleich breite Teilintervalle der Breite h = (b − a)/n zerlegt wird und die Koeffizienten zwischen den Randwerten abwechselnd 4, 2, 4, 2, … lauten. Dieser Rechner verdoppelt n fortlaufend und bricht ab, sobald aufeinanderfolgende Schätzungen konvergieren, was bei glatten Funktionen hohe Genauigkeit sichert.
Der Mittelwert von f auf [a, b] folgt aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung: f_avg = (1 / (b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx.
Rechenbeispiel: f(x) = x², a = 0, b = 1. Es gilt ∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0,33333333. Da die Intervallbreite b − a = 1 beträgt, stimmt der Mittelwert mit dem Integral selbst überein, also 1/3.
Häufige Fehler
- Eine symbolische Stammfunktion wie »x³/3 + C« erwarten — dieser Rechner gibt allein den Zahlenwert des bestimmten Integrals für die eingegebenen Grenzen zurück und keine allgemeine Formel für das unbestimmte Integral.
- Über eine Singularität oder Unstetigkeitsstelle integrieren, etwa 1/x über x = 0 oder tan(x) über x = π/2 — das numerische Verfahren setzt einen stetigen Integranden voraus und kann ein ungenaues oder gar kein Ergebnis liefern.
- Ein umgekehrtes Vorzeichen (durch Vertauschen von a und b) als Fehler deuten — ∫ᵦᵃ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx ist eine übliche und erwartete Eigenschaft bestimmter Integrale.
- Das bestimmte Integral, eine einzelne Zahl, mit dem unbestimmten Integral (der Stammfunktion) verwechseln, das eine ganze Funktionenschar darstellt, deren Glieder sich um eine Konstante C unterscheiden.
- Annehmen, ein großes Zahlenergebnis bedeute stets einen großen positiven Flächeninhalt — das bestimmte Integral ist eine vorzeichenbehaftete Fläche, Bereiche mit negativem f(x) werden also abgezogen statt hinzugefügt.
Häufig gestellte Fragen
Liefert dieser Rechner die Stammfunktion, etwa x³/3 + C?
Nein. Dieser Rechner ermittelt allein den Zahlenwert des bestimmten Integrals für die von Ihnen eingegebenen Grenzen a und b, und zwar mit einem numerischen Verfahren. Eine symbolische Integration führt er nicht aus, und eine allgemeine Stammfunktion gibt er nicht zurück.
Welches numerische Verfahren verwendet dieser Integralrechner?
Die adaptive zusammengesetzte Simpson-Regel: Sie nähert den Flächeninhalt unter der Kurve, indem sie über die Teilintervalle Parabelbögen legt und deren Flächen summiert, wobei die Zahl der Teilintervalle so lange verfeinert wird, bis die Schätzung bis auf eine enge numerische Toleranz konvergiert.
Was geschieht, wenn ich die obere Grenze kleiner als die untere wähle?
Der Rechner gibt das negative Integral zurück, das über die aufsteigend geordneten Grenzen berechnet wurde, gemäß der üblichen Konvention ∫ᵦᵃ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx.
Was bedeutet das Ergebnis zum Mittelwert?
Der Mittelwert von f auf [a, b] ist das Integral geteilt durch die Intervallbreite, (1 / (b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx — also die Höhe desjenigen Rechtecks über [a, b], das denselben Flächeninhalt besäße wie der Bereich unter der Kurve.
Kann dieser Rechner Funktionen mit einer Unstetigkeitsstelle im Intervall verarbeiten?
Nicht zuverlässig. Die Simpson-Regel setzt voraus, dass der Integrand über [a, b] stetig und gutartig ist. Eine Integration über eine Singularität, etwa 1/x über x = 0, kann ein ungenaues oder gar kein Ergebnis liefern.
Welche Funktionen und Operatoren sind zulässig?
sin, cos, tan, asin, acos, atan, sqrt, cbrt, abs, ln (natürlicher Logarithmus), log (Zehnerlogarithmus), log2 (Zweierlogarithmus), exp, floor, ceil, round, min, max; die Konstanten pi, e und tau; die Operatoren + − * / % ^; sowie die Variable x, wobei trigonometrische Funktionen im Bogenmaß ausgewertet werden.
Quellenangaben
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (the definite integral, Simpson's rule, and the mean value theorem for integrals).
- Burden RL, Faires JD. Numerical Analysis. Cengage Learning (composite Simpson's rule and its error bounds).
- Atkinson KE. An Introduction to Numerical Analysis. Wiley (numerical integration methods).
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 3: Numerical Methods — quadrature. dlmf.nist.gov.