Ihr Grenzwertergebnis verstehen
Die folgende Tabelle fasst zusammen, wie die links- und rechtsseitigen numerischen Schätzungen darüber entscheiden, ob ein beidseitiger Grenzwert als existent ausgewiesen wird.
| Links- und rechtsseitige Schätzung | Ausgewiesenes Ergebnis |
|---|---|
| Stimmen innerhalb der numerischen Toleranz überein | Der beidseitige Grenzwert existiert — ausgewiesen wird ihr Mittelwert |
| Weichen ab oder eine Seite ist undefiniert | Der beidseitige Grenzwert existiert an dieser Stelle nicht |
- Dies ist eine numerische Schätzung, die auf der Auswertung der Funktion sehr nahe bei c von beiden Seiten beruht — sie formt nichts algebraisch um, weshalb klassische unbestimmte Ausdrücke wie 0/0 über den numerischen Trend aufgelöst werden und nicht über algebraisches Faktorisieren oder die Regel von L'Hospital.
- Eine Funktion muss bei x = c nicht definiert sein, damit dort ein Grenzwert existiert; sin(x)/x ist bei x = 0 undefiniert, sein Grenzwert dort beträgt jedoch 1.
- Funktionen mit hebbaren Definitionslücken, Sprungstellen oder senkrechten Asymptoten bei c zeigen typischerweise eine Abweichung zwischen der links- und der rechtsseitigen Schätzung und signalisieren damit korrekt, dass der beidseitige Grenzwert nicht existiert.
- Funktionen, die nahe bei c sehr rasch oszillieren (etwa sin(1/x) für x gegen 0), können irreführende numerische Schätzungen erzeugen, da eine Auswertung an endlich vielen benachbarten Stellen die Schwingung womöglich nicht erfasst.
- Ein Grenzwert wird auch dann als nicht existent ausgewiesen, wenn beide Seiten gegen unendlich streben, obwohl sie miteinander übereinstimmen — f(x) = 1/x² bei c = 0 ist der Standardfall. Die Schätzwerte sind dort ein Artefakt der Schrittweite (halbiert man sie, vervierfachen sie sich), ein endlicher beidseitiger Grenzwert existiert also nicht.
Was ist ein numerischer Grenzwert?
Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, wenn ihr Argument beliebig nahe an eine Stelle c heranrückt — unabhängig davon, ob die Funktion bei c überhaupt definiert ist. Dieser Rechner schätzt diesen Wert numerisch: Er wertet die Funktion an einer Folge von Stellen aus, die sich c von links und von rechts immer weiter annähern, und beobachtet, welchem Wert jede Seite zustrebt. Er formt den Ausdruck weder algebraisch um noch wendet er symbolische Techniken wie die Regel von L'Hospital an.
Der beidseitige Grenzwert wird nur dann als existent ausgewiesen, wenn die linksseitige und die rechtsseitige numerische Schätzung hinreichend genau übereinstimmen (innerhalb einer kleinen numerischen Toleranz). Weichen sie voneinander ab — etwa an einer Sprungstelle oder einer senkrechten Asymptote —, so meldet der Rechner, dass der beidseitige Grenzwert nicht existiert, zeigt die getrennten links- und rechtsseitigen Werte aber weiterhin an.
Eine Funktion muss bei x = c nicht definiert sein, damit dort ein Grenzwert existiert. Das klassische Beispiel sin(x)/x ist bei x = 0 undefiniert (0/0), und dennoch beträgt sein Grenzwert für x gegen 0 genau 1, da der Funktionswert von beiden Seiten beliebig nahe an 1 heranrückt.
So verwenden Sie diesen Grenzwertrechner
- Geben Sie eine Funktion in x ein, zum Beispiel sin(x)/x, 1/x oder (x^2-1)/(x-1). Die Multiplikation muss ausdrücklich mit * geschrieben werden, Potenzen mit ^.
- Geben Sie den Annäherungswert c ein — die Stelle, auf die x zustrebt und an der die Funktion selbst nicht definiert sein muss.
- Lesen Sie den linksseitigen Grenzwert (den Wert, dem sich die Funktion von unterhalb c nähert) und den rechtsseitigen Grenzwert (den Wert von oberhalb c) ab.
- Prüfen Sie, ob der beidseitige Grenzwert existiert: Er wird ausgewiesen, wenn links- und rechtsseitige Schätzung übereinstimmen; andernfalls meldet der Rechner, dass der beidseitige Grenzwert nicht existiert.
So wird der Grenzwert numerisch geschätzt
Der linksseitige Grenzwert wird geschätzt, indem f(c − h) für eine Folge immer kleinerer positiver Schrittweiten h ausgewertet und der Trend für h gegen 0 beobachtet wird. Der rechtsseitige Grenzwert entsteht auf demselben Weg über f(c + h).
Der beidseitige Grenzwert gilt nur dann als existent, wenn die links- und die rechtsseitige Schätzung innerhalb einer kleinen numerischen Toleranz übereinstimmen; in diesem Fall wird ihr Mittelwert ausgewiesen. Weichen sie ab oder ist eine Seite undefiniert, so wird der beidseitige Grenzwert als nicht existent gemeldet, auch wenn einer oder beide einseitigen Grenzwerte weiterhin angezeigt werden.
Rechenbeispiel: f(x) = sin(x)/x für c = 0. Zwar ist sin(0)/0 undefiniert (0/0), doch die Auswertung an Stellen sehr nahe bei 0 zeigt, dass der Wert von beiden Seiten gegen 1 strebt; somit gilt lim(x→0) sin(x)/x = 1.
Gegenbeispiel: f(x) = 1/x für c = 0. Von links betrachtet streben die Werte gegen minus unendlich, von rechts gegen plus unendlich — die beiden Seiten weichen voneinander ab, folglich existiert der beidseitige Grenzwert bei x = 0 nicht.
Häufige Fehler
- Eine symbolische Herleitung des Grenzwerts erwarten, etwa über die Regel von L'Hospital oder algebraisches Faktorisieren — dieser Rechner schätzt den Grenzwert numerisch, indem er die Funktion sehr nahe bei c auswertet, und nicht durch algebraisches Umformen.
- Annehmen, eine Funktion müsse bei x = c definiert sein, damit dort ein Grenzwert existiert — ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich die Funktion nähert, und kann auch dann existieren, wenn f(c) selbst undefiniert ist, wie bei sin(x)/x an der Stelle x = 0.
- Übersehen, dass ein einseitiger Grenzwert auch dann existieren kann, wenn der beidseitige nicht existiert — prüfen Sie die getrennten links- und rechtsseitigen Ergebnisse, sobald der beidseitige Grenzwert als nicht existent gemeldet wird.
- Eine Funktion eingeben, die nahe bei c rasch oszilliert, etwa sin(1/x) für x gegen 0, wo eine numerische Auswertung an endlich vielen Stellen über das tatsächliche mathematische Verhalten täuschen kann.
- Die Meldung »existiert nicht« als Rechenfehler lesen — sie ist ein gültiges, korrektes mathematisches Ergebnis, sobald das Verhalten von links und von rechts an dieser Stelle tatsächlich auseinanderfällt.
Häufig gestellte Fragen
Löst dieser Rechner Grenzwerte symbolisch, etwa mit der Regel von L'Hospital?
Nein. Dieser Rechner schätzt Grenzwerte numerisch, indem er die Funktion an einer Folge von Stellen sehr nahe beim Annäherungswert c von beiden Seiten auswertet und den Trend beobachtet. Er formt nichts algebraisch um und wendet keine symbolischen Techniken wie die Regel von L'Hospital an.
Kann ein Grenzwert existieren, obwohl die Funktion an dieser Stelle undefiniert ist?
Ja. Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, und nicht den Wert, den sie an dieser Stelle tatsächlich annimmt. Das klassische Beispiel ist sin(x)/x, das bei x = 0 undefiniert ist (0/0), für x gegen 0 aber den Grenzwert genau 1 besitzt.
Was bedeutet »Grenzwert existiert nicht (beidseitig)«?
Es bedeutet, dass die numerischen Schätzungen von links und von rechts nicht hinreichend genau übereinstimmen — ein typisches Anzeichen für eine Sprungstelle, eine senkrechte Asymptote oder ein Oszillieren nahe dieser Stelle. Die getrennten links- und rechtsseitigen Werte werden weiterhin ausgewiesen, damit Sie das Verhalten aus jeder Richtung erkennen können.
Warum können links- und rechtsseitiger Grenzwert voneinander abweichen?
Das geschieht typischerweise an einer Sprungstelle (der Funktionswert springt unvermittelt), an einer senkrechten Asymptote (die Funktion wächst unbeschränkt, von beiden Seiten oft in entgegengesetzte Unendlichkeiten, wie bei 1/x an der Stelle x = 0) oder bei raschem Oszillieren nahe dem Annäherungswert.
Wie genau ist ein numerisch geschätzter Grenzwert?
Bei glatten Funktionen mit einem tatsächlich vorhandenen Grenzwert an der Annäherungsstelle ist die numerische Schätzung sehr genau. Die Genauigkeit kann leiden, wenn eine Funktion nahe der Annäherungsstelle rasch oszilliert oder sich in unmittelbarer Nähe von c numerisch instabil auswerten lässt.
Welche Funktionen und Operatoren sind im Ausdruck zulässig?
sin, cos, tan, asin, acos, atan, sqrt, cbrt, abs, ln (natürlicher Logarithmus), log (Zehnerlogarithmus), log2 (Zweierlogarithmus), exp, floor, ceil, round, min, max; die Konstanten pi, e und tau; die Operatoren + − * / % ^; sowie die Variable x, wobei trigonometrische Funktionen im Bogenmaß ausgewertet werden.
Quellenangaben
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (the formal and informal definitions of a limit, one-sided limits).
- Burden RL, Faires JD. Numerical Analysis. Cengage Learning (numerical approximation methods).
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 3: Numerical Methods. dlmf.nist.gov.
- Spivak M. Calculus (4th ed). Publish or Perish, 2008 (rigorous treatment of limits and continuity).