Sich einem Wert anzunähern ist nicht dasselbe wie ihn zu erreichen
Ein Grenzwert fragt, welchem Wert sich eine Funktion immer weiter annähert, wenn sich ihr Eingabewert immer weiter einem Punkt c annähert, ohne zu verlangen, dass die Funktion an der Stelle c tatsächlich definiert ist oder dort, selbst wenn sie definiert ist, diesem Grenzwert entspricht. Diese Unterscheidung -- Annäherung versus Erreichen -- ist die zentrale Idee, die Grenzwerte von der einfachen Einsetzung unterscheidet: Die Einsetzung fragt „Was ist f(c)?"; ein Grenzwert fragt „Wogegen strebt f(x), wenn x sich c beliebig annähert?", und die beiden Fragen können unterschiedliche Antworten haben, oder die eine kann eine Antwort besitzen, während die andere keine hat.
Bei einer gutartigen (stetigen) Funktion liefern Annäherung und Erreichen dieselbe Antwort, weshalb die einfache Einsetzung bei den meisten in der Einführungsalgebra behandelten Funktionen funktioniert. Grenzwerte werden genau an jenen Stellen wirklich notwendig, an denen sich eine Funktion nicht gutartig verhält -- undefiniert, unstetig oder aus einem Verhältnis aufgebaut, das an dieser Stelle eine unbestimmte Form wie 0/0 erzeugt --, also genau dort, wo die Einsetzung versagt, der Grenzwert aber dennoch existieren kann.
Einseitige vs. zweiseitige Grenzwerte
Ein einseitiger Grenzwert betrachtet das Verhalten der Funktion nur aus einer Richtung: Der linksseitige Grenzwert, geschrieben als lim(x→c⁻) f(x), betrachtet die Werte von f, wenn x sich c von unten nähert (durch Werte kleiner als c); der rechtsseitige Grenzwert, geschrieben als lim(x→c⁺) f(x), betrachtet die Werte von f, wenn x sich c von oben nähert (durch Werte größer als c). Ein zweiseitiger Grenzwert, geschrieben als lim(x→c) f(x) ohne hochgestelltes Symbol, existiert nur dann, wenn sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert existieren und einander gleich sind.
Die Funktion f(x) = |x| / x veranschaulicht einen Fall, in dem die einseitigen Grenzwerte bei c = 0 nicht übereinstimmen: Für jedes negative x gilt |x| / x = −1, sodass der linksseitige Grenzwert −1 ist; für jedes positive x gilt |x| / x = 1, sodass der rechtsseitige Grenzwert 1 ist. Da −1 ≠ 1 ist, existiert der zweiseitige Grenzwert bei x = 0 nicht, obwohl beide einseitigen Grenzwerte für sich genommen existieren und vollkommen wohldefiniert sind.
| Annäherungsrichtung | Verhalten von f(x) = |x| / x | Grenzwert |
|---|---|---|
| Linksseitig (x → 0⁻) | f(x) = −1 für alle x < 0 | lim = −1 |
| Rechtsseitig (x → 0⁺) | f(x) = 1 für alle x > 0 | lim = 1 |
| Zweiseitig (x → 0) | Links- und rechtsseitiger Grenzwert stimmen nicht überein (−1 ≠ 1) | Existiert nicht |
Der Klassiker: warum sin(x)/x einen Grenzwert braucht, keine Einsetzung
Setzt man x = 0 direkt in sin(x)/x ein, ergibt sich sin(0)/0 = 0/0, eine unbestimmte Form, die für sich genommen keinen definierten Zahlenwert trägt -- 0/0 ist nicht automatisch 0 oder 1 oder für immer undefiniert; es bedeutet lediglich, dass die direkte Einsetzung die Frage nicht beantworten kann und stattdessen ein Grenzwert bestimmt werden muss. Wertet man sin(x)/x an einer Folge von x-Werten aus, die sich von beiden Seiten 0 annähern, zeigt sich, dass der Funktionswert stetig gegen 1 strebt, nicht gegen 0 oder eine andere Zahl.
Numerisch: bei x = 0,1 ist sin(x)/x ≈ 0,998334; bei x = 0,01 ist sin(x)/x ≈ 0,999983; bei x = 0,001 ist sin(x)/x ≈ 0,9999998; bei x = 0,0001 ist sin(x)/x ≈ 0,99999998. Sowohl die links- als auch die rechtsseitige Tendenz konvergieren gegen 1, sodass lim(x→0) sin(x)/x = 1 gilt, obwohl die Funktion sin(x)/x selbst genau bei x = 0 nicht definiert ist. Dieses Ergebnis ist ein Standardresultat der Analysis und wird üblicherweise nicht allein durch numerische Auswertung, sondern rigoros mit einem geometrischen Einschließungsargument (Sandwich-Theorem) bewiesen.
Wenn Grenzwerte nicht existieren: 1/x bei x = 0
Nicht jeder Grenzwert existiert. Die Funktion f(x) = 1/x, bei Annäherung an c = 0, veranschaulicht einen Grenzwert, der wegen unbeschränkten Wachstums und nicht wegen einer bloßen Diskrepanz scheitert: Nähert sich x von rechts (kleine positive Werte) an 0 an, wächst 1/x unbeschränkt gegen positiv unendlich; nähert sich x von links (kleine negative Werte) an 0 an, wächst 1/x unbeschränkt gegen negativ unendlich. Da die beiden einseitigen Verhalten gegen entgegengesetzte Unendlichkeiten divergieren, statt sich auf eine gemeinsame endliche Zahl einzupendeln, existiert der zweiseitige Grenzwert bei x = 0 nicht.
Grenzwerte können auch wegen Oszillation und nicht wegen Divergenz gegen unendlich scheitern -- so oszilliert etwa sin(1/x), wenn x sich 0 nähert, unendlich oft zwischen −1 und 1, egal wie nahe x an 0 herankommt, ohne sich von einer der beiden Seiten aus auf einen einzelnen Wert einzupendeln. Sowohl unbeschränktes Wachstum als auch anhaltende Oszillation sind gängige, gut dokumentierte Gründe, warum ein Grenzwert nicht existiert, und unterscheiden sich von dem oben anhand von |x|/x gezeigten Fall widersprüchlicher einseitiger Grenzwerte.
Warum Grenzwerte das Fundament sind, auf dem sowohl Ableitungen als auch Integrale aufbauen
Die formale Definition einer Ableitung ist selbst ein Grenzwert -- der Grenzwert der Steigung einer Sekante, wenn deren beiden festlegende Punkte zusammenrücken --, und auch die formale Definition eines bestimmten Integrals ist ein Grenzwert, nämlich der Grenzwert einer Riemann-Summe, wenn die Anzahl der Rechtecke unbeschränkt wächst. Zu verstehen, was ein Grenzwert ist und wann er existiert oder nicht, ist daher kein Nebenthema der Analysis, sondern der Mechanismus, der beiden zentralen Operationen des Fachs zugrunde liegt.
Aus demselben Grund ist ein numerischer Grenzwertrechner, wie der auf dieser Seite, konzeptionell genauso aufgebaut, wie oben sin(x)/x ausgewertet wurde: Er schätzt das links- und rechtsseitige Verhalten, indem er die Funktion an Punkten auswertet, die dem Annäherungswert von jeder Seite aus zunehmend näherkommen, und prüft anschließend, ob diese beiden Tendenzen eng genug übereinstimmen, um einen zweiseitigen Grenzwert auszugeben.
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet es, wenn ein Grenzwert nicht existiert?
Es bedeutet, dass sich das Verhalten der Funktion, wenn x sich einem bestimmten Punkt nähert, nicht auf einen einzigen, wohldefinierten Wert einpendelt -- häufig, weil der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen (wie bei |x|/x bei x = 0), weil die Funktion von beiden Seiten aus in entgegengesetzte Richtungen unbeschränkt wächst (wie bei 1/x bei x = 0), oder weil die Funktion in der Nähe dieses Punktes anhaltend oszilliert, ohne sich einzupendeln.
Was ist der Unterschied zwischen einem einseitigen und einem zweiseitigen Grenzwert?
Ein einseitiger Grenzwert betrachtet das Verhalten einer Funktion bei Annäherung an einen Punkt nur aus einer Richtung -- der linksseitige Grenzwert von Werten unterhalb, der rechtsseitige Grenzwert von Werten oberhalb. Ein zweiseitiger Grenzwert existiert nur, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und einander gleich sind; stimmen sie nicht überein, existiert der zweiseitige Grenzwert nicht, obwohl jeder einseitige Grenzwert für sich genommen durchaus wohldefiniert sein kann.
Warum gilt lim(x→0) sin(x)/x = 1, obwohl sin(0)/0 undefiniert ist?
Weil ein Grenzwert fragt, welchem Wert sich eine Funktion annähert, nicht welchen Wert sie an der Stelle selbst annimmt. Die direkte Einsetzung ergibt die unbestimmte Form 0/0, die für sich genommen keinen definierten Wert trägt, doch die Auswertung von sin(x)/x an Punkten, die sich von beiden Seiten zunehmend 0 annähern, zeigt eine stetige Konvergenz gegen 1 -- das ist der Wert des Grenzwerts, obwohl die Funktion selbst genau bei x = 0 nicht definiert ist.
Wann existiert ein Grenzwert nicht?
Ein Grenzwert existiert nicht, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen (wie bei |x|/x bei x = 0), wenn die Funktion von beiden Seiten aus unbeschränkt gegen entgegengesetzte Unendlichkeiten wächst (wie bei 1/x bei x = 0), oder wenn die Funktion in der Nähe des Punktes anhaltend oszilliert, ohne sich einem einzelnen Wert anzunähern (wie bei sin(1/x) in der Nähe von x = 0).
Kann eine Funktion an einem Punkt einen Grenzwert besitzen, an dem sie nicht definiert ist?
Ja. Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion annähert, wenn ihr Eingabewert sich einem Punkt nähert, nicht den Wert, den die Funktion dort annimmt, sodass die beiden Fragen unterschiedliche Antworten haben können. Die Funktion sin(x)/x ist bei x = 0 nicht definiert, doch ihr Grenzwert bei Annäherung an x = 0 beträgt exakt 1, weil die Funktionswerte von beiden Richtungen aus gegen 1 konvergieren, obwohl x = 0 selbst aus ihrem Definitionsbereich ausgeschlossen ist.
Quellenangaben
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (the formal definition of a limit, one-sided limits, and the squeeze theorem).
- Spivak M. Calculus (4th ed). Publish or Perish, 2008 (rigorous treatment of limits and continuity).
- Thomas GB, Weir MD, Hass J. Thomas' Calculus. Pearson (limits, one-sided limits, and indeterminate forms).
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 3: Numerical Methods. dlmf.nist.gov.