فهم نتائج الكسور
تُختزل النتائج دائمًا إلى أبسط صورة. ويبيّن الجدول التالي سلوك كل عملية على الكسرين 1/2 و 1/3 بوصفهما مثالًا.
| العملية | الحساب | الناتج | القيمة العشرية |
|---|---|---|---|
| جمع | 1/2 + 1/3 = (3 + 2)/6 | 5/6 | 0.833333 |
| طرح | 1/2 - 1/3 = (3 - 2)/6 | 1/6 | 0.166667 |
| ضرب | 1/2 x 1/3 = 1/6 | 1/6 | 0.166667 |
| قسمة | (1/2) / (1/3) = 3/2 | 3/2 | 1.5 |
- الكسر غير الفعلي (الذي يكون بسطه أكبر من مقامه، مثل 3/2) ناتج صحيح تمامًا، ويمكن كتابته أيضًا على صورة عدد كسري: 1 1/2.
- المكافئ العشري المعروض مقرَّب إلى ستة أرقام عشرية؛ فبعض الكسور مثل 1/3 لها تمديد عشري غير منتهٍ.
- تقرّب هذه الحاسبة المدخلات إلى أعداد صحيحة، لأن الكسور بحكم تعريفها نسب بين أعداد صحيحة.
ما هو الكسر؟
يمثل الكسر جزءًا من كل، أو بصورة أعم نسبة بين عددين صحيحين: بسط (العدد العلوي) مقسوم على مقام (العدد السفلي). فالمقام يبيّن إلى كم جزء متساوٍ قُسّم الكل، والبسط يبيّن كم جزءًا من تلك الأجزاء قد أُخذ. وقد تختلف صور الكسور المتساوية في القيمة — فالكسور 1/2 و 2/4 و 3/6 تمثل العدد نفسه.
يكون الكسر في أبسط صورة (مختزلًا تمامًا) عندما لا يشترك بسطه ومقامه في أي عامل أكبر من 1. ويتم التبسيط بقسمة كليهما على القاسم المشترك الأكبر بينهما. فمثلًا، يُبسَّط 8/12 إلى 2/3 لأن القاسم المشترك الأكبر للعددين 8 و 12 هو 4. وتعطي هذه الحاسبة النتائج دائمًا في أبسط صورة، مع حمل البسط لأي إشارة سالبة.
تخضع العمليات الأربع الأساسية على الكسور لقواعد ثابتة: فالجمع والطرح يستلزمان مقامًا مشتركًا، والضرب يقتضي ضرب البسوط في بعضها والمقامات في بعضها مباشرة، والقسمة تتم بالضرب في مقلوب الكسر الثاني. وتنبع هذه القواعد من تعريف الكسر بوصفه خارج قسمة عددين صحيحين.
كيفية استخدام حاسبة الكسور
- أدخل بسط الكسر الأول ومقامه. لا يمكن أن يكون المقام صفرًا، وتُعامل المدخلات على أنها أعداد صحيحة.
- اختر العملية: جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة.
- أدخل بسط الكسر الثاني ومقامه. وفي حالة القسمة، لا يجوز أن يكون بسط الكسر الثاني صفرًا أيضًا.
- اطّلع على الناتج المبسَّط وعلى مكافئه العشري. والنتائج السالبة تحمل الإشارة على البسط.
صيغ العمليات على الكسور
يعتمد الجمع والطرح على الضرب التبادلي للوصول إلى مقام مشترك: a/b + c/d = (ad + cb) / (bd)، و a/b - c/d = (ad - cb) / (bd). ثم يُختزل الناتج إلى أبسط صورة.
أما الضرب فيتم مباشرة بين المتناظرات: a/b x c/d = (ac) / (bd). والقسمة تتم بالضرب في المقلوب: (a/b) / (c/d) = (ad) / (bc)، وهو ما يستلزم أن يكون c مخالفًا للصفر.
مثال محلول (الجمع): 1/2 + 1/3. بالضرب التبادلي: (1 x 3 + 1 x 2) / (2 x 3) = (3 + 2) / 6 = 5/6. والقاسم المشترك الأكبر للعددين 5 و 6 هو 1، إذن 5/6 في أبسط صورة أصلًا؛ وقيمته العشرية 0.833333 (مقرَّبة إلى ستة أرقام عشرية).
مثال محلول (القسمة): (1/2) / (1/3) = (1 x 3) / (2 x 1) = 3/2 = 1.5. فالقسمة على كسر أصغر من 1 تعطي ناتجًا أكبر من القيمة الأصلية.
أخطاء شائعة
- جمع البسوط والمقامات كلًّا على حدة: فالناتج 1/2 + 1/3 ليس 2/5 — إذ لا بد من توحيد المقام أولًا.
- نسيان قلب الكسر الثاني عند القسمة: فالمقدار (a/b) / (c/d) يساوي a/b x d/c وليس a/b x c/d.
- إهمال تبسيط الناتج — فالكسران 4/8 و 1/2 متساويان، لكن العرف يقضي بتقديم الإجابات في أبسط صورة.
- الاختزال عبر عملية الجمع: فالمقدار (2 + 3)/2 لا يمكن تبسيطه بحذف العددين 2، إذ لا ينطبق الاختزال إلا على العوامل المشتركة في عمليات الضرب.
- اعتبار أن كبر المقام يعني كبر الكسر: فالكسر 1/8 أصغر من 1/4، لأن الكل قُسّم إلى عدد أكبر من الأجزاء.
الأسئلة الشائعة
كيف أجمع كسورًا ذات مقامات مختلفة؟
أعد كتابة الكسرين على مقام مشترك، ثم اجمع البسطين. وباستخدام الضرب التبادلي: a/b + c/d = (ad + cb) / (bd). فمثلًا، 1/2 + 1/3 = (1x3 + 1x2) / (2x3) = 5/6. وأخيرًا بسّط الناتج بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر بينهما.
كيف أقسم كسرًا على كسر آخر؟
اضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني: (a/b) / (c/d) = (a x d) / (b x c). فمثلًا، (1/2) / (1/3) = (1 x 3) / (2 x 1) = 3/2 = 1.5. والقسمة على كسر لا تكون معرَّفة إلا إذا كان ذلك الكسر مخالفًا للصفر.
كيف أبسّط كسرًا إلى أبسط صورة؟
اقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر بينهما. فمثلًا، القاسم المشترك الأكبر للعددين 8 و 12 هو 4، ومن ثَم يُبسَّط 8/12 إلى 2/3. ويكون الكسر في أبسط صورة عندما يكون 1 هو العدد الصحيح الموجب الوحيد الذي يقسم البسط والمقام معًا.
ما هو الكسر غير الفعلي؟
الكسر غير الفعلي هو الكسر الذي تكون القيمة المطلقة لبسطه أكبر من مقامه أو مساوية له، مثل 3/2 أو 7/4. وهذه الكسور نتائج صحيحة تمامًا، ويمكن إعادة كتابتها على صورة أعداد كسرية: 3/2 = 1 1/2 و 7/4 = 1 3/4. وكلتا الصورتين تمثلان القيمة نفسها.
لماذا يكون الناتج سالبًا أحيانًا؟
يكون الكسر سالبًا عندما تختلف إشارتا بسطه ومقامه، أو عندما تعطي عملية طرح بسطًا أقل من الصفر. وبحسب العرف المتبع، تضع هذه الحاسبة الإشارة السالبة على البسط وتُبقي المقام موجبًا، فيُعرض -1/2 بدلًا من 1/-2.
هل يمكن أن يكون مقام الكسر صفرًا؟
لا. القسمة على صفر غير معرَّفة، ومن ثَم فإن الكسر الذي مقامه صفر لا قيمة له. ولا تعطي هذه الحاسبة أي نتيجة إذا كان أحد المقامين صفرًا، أو إذا قسمت على كسر بسطه صفر (لأن ذلك الكسر يساوي صفرًا).
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Fraction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Greatest Common Divisor." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST Handbook 44, Appendix C: General Tables of Units of Measurement (standard fraction conventions). nist.gov.