فهم نتيجة التحويل
تقابل الكسورَ العشرية المنتهية الشائعةَ كسورٌ اعتيادية بسيطة يُستحسن حفظها. ويعرض الجدول التالي أكثر هذه المكافئات استخدامًا.
| الكسر العشري | الكسر الاعتيادي | النسبة المئوية |
|---|---|---|
| 0.5 | 1/2 | 50% |
| 0.25 | 1/4 | 25% |
| 0.75 | 3/4 | 75% |
| 0.2 | 1/5 | 20% |
| 0.125 | 1/8 | 12.5% |
| 0.625 | 5/8 | 62.5% |
| 0.0625 | 1/16 | 6.25% |
- ينتهي الكسر العشري إذا كان مقام كسره في أبسط صورة لا يحتوي إلا على العاملين الأوليين 2 و5 فقط. ولهذا السبب تنتج عن 1/3 و1/6 و1/7 كسور عشرية دورية.
- لا يمكن إدخال الكسور العشرية الدورية بدقة: فالعدد 0.333333 يتحول إلى 333333/1000000 لا إلى 1/3. استخدم الطريقة الجبرية مع الكسور الدورية (اجعل x = 0.333...، ثم 10x - x = 3، ومن ثم x = 1/3).
- تقبل هذه الحاسبة حتى تسع منازل عشرية؛ وبعد ذلك يحدّ تمثيل الفاصلة العائمة من دقة التحويل.
ما المقصود بتحويل الكسر العشري إلى كسر اعتيادي؟
الكسر العشري المنتهي هو عدد تنتهي أرقامه بعد عدد محدود من المنازل العشرية، مثل 0.625 أو 0.32. ويمكن كتابة كل كسر عشري منتهٍ بدقة تامة على صورة كسر مقامه قوة من قوى العشرة: فالأرقام الواقعة بعد الفاصلة العشرية تكوّن البسط، والمقام هو 10 مرفوعًا لعدد المنازل العشرية. وبما أن 0.625 يحتوي على ثلاث منازل عشرية، فهو يساوي 625/1000.
بعد ذلك يُختصر الكسر الناتج إلى أبسط صورة بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر بينهما. وفي حالة 625/1000 يكون القاسم المشترك الأكبر 125، فينتج 5/8. ويُسمى الكسر المكوّن من عددين صحيحين عددًا نسبيًا، وكل كسر عشري منتهٍ هو عدد نسبي.
أما الكسور العشرية الدورية مثل 0.333... (التي تساوي 1/3 بالضبط) فهي أيضًا تمثل أعدادًا نسبية، غير أنها تتطلب طريقة جبرية مختلفة ولا يمكن إدخالها بدقة على هيئة عدد عشري محدود. فإدخال 0.333333 يحوّل ذلك العدد العشري ذا الأرقام الستة تحديدًا (333333/1000000) لا 1/3. وتتعامل هذه الحاسبة مع الكسور العشرية المنتهية حتى تسع منازل عشرية.
كيفية استخدام حاسبة تحويل العشري إلى كسر
- أدخل القيمة العشرية التي تريد تحويلها، مثل 0.625 أو 2.5. والقيم العشرية السالبة مدعومة أيضًا.
- اقرأ الكسر في أبسط صورة. وفي حالة المدخلات السالبة تُحمل الإشارة على البسط.
- اقرأ ما يقابله بالنسبة المئوية، وهو ناتج ضرب العدد العشري في 100.
- للتحقق يدويًا، اكتب الأرقام الواقعة بعد الفاصلة العشرية فوق قوة العشرة المناسبة، ثم اقسم الطرفين على القاسم المشترك الأكبر بينهما.
طريقة التحويل بالقيمة المكانية
عُدّ الأرقام الواقعة بعد الفاصلة العشرية (وليكن عددها k). اضرب العدد العشري في 10^k للحصول على بسط صحيح، واجعل 10^k هو المقام. ثم اقسم الطرفين على القاسم المشترك الأكبر بينهما للوصول إلى أبسط صورة.
مثال محلول: 0.625. عدد منازله العشرية k = 3، إذن 0.625 = 625/1000. والقاسم المشترك الأكبر بين 625 و1000 هو 125. وبالقسمة: 625/125 = 5 و1000/125 = 8، ومن ثم 0.625 = 5/8. وبالنسبة المئوية: 0.625 x 100 = 62.5%.
مثال ثانٍ: 0.32 = 32/100. والقاسم المشترك الأكبر بين 32 و100 هو 4، إذن 0.32 = 8/25 = 32%.
وتُحوَّل الأعداد العشرية الأكبر من 1 بالطريقة نفسها: 2.5 = 25/10 = 5/2، ويمكن كتابتها أيضًا على صورة العدد الكسري 2 1/2.
أخطاء شائعة
- توقّع أن يتحول 0.33 أو 0.333333 إلى 1/3 — فالعدد الدوري اللانهائي 0.333... وحده هو الذي يساوي 1/3، أما أي إدخال محدود فيتحول إلى كسر آخر مضبوط.
- استخدام قوة خاطئة من قوى العشرة: فالعدد 0.625 هو 625/1000 (ثلاث منازل) لا 625/100.
- إهمال الاختصار: فالكسران 625/1000 و5/8 متساويان، لكن أبسط صورة هي الإجابة المتعارف عليها.
- إسقاط الإشارة في الأعداد العشرية السالبة — فإشارة السالب تنتمي إلى بسط الكسر الناتج.
الأسئلة الشائعة
كيف أحوّل كسرًا عشريًا إلى كسر اعتيادي؟
اكتب الأرقام الواقعة بعد الفاصلة العشرية بسطًا فوق 10 مرفوعًا لعدد المنازل العشرية، ثم اختصر بالقاسم المشترك الأكبر. فمثلًا 0.625 = 625/1000؛ والقاسم المشترك الأكبر بين 625 و1000 هو 125، ومن ثم 0.625 = 5/8.
كم يساوي 0.625 على صورة كسر؟
يساوي 0.625 الكسر 5/8. وطريقة التحويل: للعدد 0.625 ثلاث منازل عشرية، إذن هو يساوي 625/1000. وبقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر بينهما، وهو 125، ينتج 5/8. وبالنسبة المئوية يساوي 0.625 نسبة 62.5%.
هل يمكن كتابة كل عدد عشري على صورة كسر؟
يمكن كتابة كل كسر عشري منتهٍ وكل كسر عشري دوري بدقة تامة على صورة كسر من عددين صحيحين — وهذه هي الأعداد النسبية. أما الأعداد غير النسبية مثل باي (3.14159...) والجذر التربيعي للعدد 2 فلها مفكوكات عشرية لا تنتهي ولا تتكرر دوريًا، ولا يمكن كتابتها بدقة على صورة أي كسر من عددين صحيحين.
كيف أحوّل كسرًا عشريًا دوريًا مثل 0.333... إلى كسر اعتيادي؟
استخدم الجبر بدلًا من القيمة المكانية. اجعل x = 0.333...؛ وبالضرب في 10 نحصل على 10x = 3.333...؛ وبطرح المعادلة الأولى من الثانية ينتج 9x = 3، ومن ثم x = 3/9 = 1/3. أما الإدخال المحدود مثل 0.333333 فهو عدد مختلف ويتحول إلى 333333/1000000.
كيف أحوّل عددًا عشريًا أكبر من 1؟
تنطبق طريقة القيمة المكانية نفسها. فمثلًا 2.5 = 25/10 = 5/2 بعد القسمة على القاسم المشترك الأكبر وهو 5. ويمكن كتابة الكسر غير الفعلي 5/2 أيضًا على صورة العدد الكسري 2 1/2؛ وكلاهما يمثل القيمة ذاتها.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Decimal Expansion." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Rational Number." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Niven I. Numbers: Rational and Irrational. Mathematical Association of America, 1961.