فهم نتائج النسب
لكل صورة من صور النسبة نفسها غرض مختلف. ويلخص الجدول التالي هذه الصور باستخدام المثال 4 : 6.
| الصورة | المثال (4 : 6) | الاستخدام المعتاد |
|---|---|---|
| Simplified | 2 : 3 | أوضح صياغة للعلاقة بأعداد صحيحة |
| 1 : n | 1 : 1.5 | المقارنة المباشرة بين نسب مختلفة؛ نسب التخفيف والتروس |
| Scaled | 10 : 15 | تعديل وصفة أو خليط أو نموذج ليطابق كمية مطلوبة |
- النسبة A : B ليست هي حصة الكمية من المجموع: فخلط بنسبة 1 : 4 يجعل المكوّن الأول 1/(1+4) = 1/5 = 20% من الخليط.
- ترتيب الحدين مهم: فالنسبتان 2 : 3 و3 : 2 تصفان علاقتين مختلفتين.
- ينطبق التبسيط إلى أبسط صورة على نسب الأعداد الصحيحة؛ أما النسب المُدخلة بقيم عشرية فتُعرض كما أُدخلت وفي الصورة 1 : n.
ما هي النسبة؟
تعبّر النسبة عن الحجم النسبي لكميتين، وتُكتب A : B وتُقرأ «A إلى B». وهي تبيّن كم وحدة من الكمية الأولى تقابل كم وحدة من الكمية الثانية. والنسب مستقلة عن المقياس: فالنسب 4 : 6 و2 : 3 و10 : 15 تصف العلاقة نفسها، لأن كلًّا منها يمكن الحصول عليه من الآخر بضرب الحدين أو قسمتهما على العدد نفسه غير الصفري.
تكون نسبة الأعداد الصحيحة في أبسط صورة عندما لا يشترك حداها في أي عامل أكبر من 1، ويتحقق ذلك بقسمة الحدين على القاسم المشترك الأكبر بينهما. أما الصورة 1 : n فتنتج بقسمة الحدين على الحد الأول، وهي تسهّل المقارنة المباشرة بين نسب مختلفة — كمقارنة نسب التروس أو نسب التخفيف مثلًا.
وترتبط النسب ارتباطًا وثيقًا بالكسور: فالنسبة A : B تقابل الكسر A/B من الكمية الثانية، وتقابل الكسر A/(A+B) من المجموع الكلي. وخلط الطلاء بنسبة 1 : 4 يعني جزءًا واحدًا من المكوّن الأول مقابل 4 أجزاء من الثاني — أي خُمس المجموع لا رُبعه.
كيفية استخدام حاسبة النسب
- أدخل الكمية الأولى (A) والكمية الثانية (B). ويجب أن تكونا موجبتين، والقيم العشرية مسموح بها.
- يمكنك اختياريًا إدخال قيمة لتحجيم الحد الأول إليها. اضبطها على 0 لتخطي التحجيم.
- اقرأ النسبة المبسطة (تُختصر المدخلات الصحيحة بالقاسم المشترك الأكبر بينها)، والصورة 1 : n، والنسبة بعد التحجيم.
- للتحقق يدويًا، اقسم الحدين على العدد نفسه عند التبسيط، أو اضرب الحدين في المعامل نفسه عند التحجيم.
صيغ حساب النسب
التبسيط: اقسم حدَّي النسبة الصحيحة على القاسم المشترك الأكبر بينهما. مثال محلول: 4 : 6. القاسم المشترك الأكبر بين 4 و6 هو 2، إذن 4 : 6 = 2 : 3. أما النسب ذات الحدود العشرية فتبقى كما أُدخلت، لأن الاختصار بالقاسم المشترك الأكبر ينطبق على الأعداد الصحيحة.
الصورة الأحادية (1 : n): اقسم الحدين على الحد الأول. ففي النسبة 4 : 6، تعطي القسمة على 4 النتيجة 1 : 1.5. وتجيب هذه الصورة عن السؤال: «كم من B مقابل واحد من A؟».
التحجيم: لجعل الحد الأول مساويًا لقيمة مستهدفة T، اضرب الحدين في T / A. فعند تحجيم 4 : 6 ليصبح حدها الأول 10، يكون المعامل 10 / 4 = 2.5، فينتج 10 : 15. وتظل العلاقة على حالها لأن الحدين ضُربا في المعامل نفسه.
أخطاء شائعة
- الخلط بين النسبة وحصة الكمية من الكل: فالخليط بنسبة 1 : 4 يعني جزءًا واحدًا من أصل 5 أجزاء (20%) لا 25%.
- عكس ترتيب الحدين — فالنسبة 2 : 3 ليست العلاقة نفسها التي تصفها 3 : 2.
- تحجيم حد واحد فقط: فللحفاظ على النسبة ثابتة يجب ضرب الحدين في المعامل نفسه.
- إضافة المقدار نفسه إلى الحدين بدلًا من الضرب: فالنسبتان 4 : 6 و5 : 7 مختلفتان.
الأسئلة الشائعة
كيف أبسّط نسبة؟
اقسم الحدين على القاسم المشترك الأكبر بينهما. فمثلًا في النسبة 4 : 6 يكون القاسم المشترك الأكبر بين 4 و6 هو 2، ومن ثم تكون النسبة المبسطة 2 : 3. وتكون نسبة الأعداد الصحيحة مبسطة تمامًا عندما لا يشترك حداها في أي عامل أكبر من 1.
ماذا تعني النسبة 1 : 1.5؟
تعني أن لكل وحدة واحدة من الكمية الأولى توجد 1.5 وحدة من الكمية الثانية. وتُستخرج الصورة 1 : n بقسمة حدَّي النسبة على الحد الأول — فمثلًا 4 : 6 مقسومة على 4 تعطي 1 : 1.5. وتجعل هذه الصورة النسب المختلفة قابلة للمقارنة المباشرة.
كيف أحجّم نسبة إلى مقدار جديد؟
اضرب الحدين في المعامل نفسه. فلتحجيم 4 : 6 بحيث يصبح الحد الأول 10، اضرب الحدين في 10 / 4 = 2.5، فينتج 10 : 15. وتظل العلاقة بين الكميتين محفوظة لأن الحدين تغيّرا بالمعامل نفسه.
هل النسبة هي نفسها الكسر؟
هما مرتبطتان لكنهما تجيبان عن سؤالين مختلفين. فالنسبة A : B تقابل الكسر A/B عند مقارنة الكمية الأولى بالثانية، لكنها تقابل A/(A+B) عند التعبير عن الكمية الأولى كحصة من المجموع. فالخليط بنسبة 1 : 4 يحتوي على 1/5 (20%) من المكوّن الأول لا على 1/4.
هل يمكن أن تحتوي النسبة على أكثر من حدين؟
نعم — فالنسب مثل 2 : 3 : 5 تقارن ثلاث كميات أو أكثر وتُبسَّط بالطريقة نفسها، أي بقسمة جميع الحدود على القاسم المشترك الأكبر بينها. وتعمل هذه الحاسبة بنسب ذات حدين؛ وللتقسيم الثلاثي طبّق طريقة مجموع الأجزاء: فالنسبة 2 : 3 : 5 تضم 10 أجزاء، ومن ثم تكون الحصص 20% و30% و50%.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Ratio." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Greatest Common Divisor." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Euclid. Elements, Book V (classical theory of ratio and proportion; standard reference for ratio conventions).