فهم المميز
يحدد المميز D = b^2 - 4ac عدد الجذور ونوعها من دون الحاجة إلى حل المعادلة.
| المميز | الجذور | المعنى الهندسي |
|---|---|---|
| D > 0 | جذران حقيقيان مختلفان | يقطع القطع المكافئ محور السينات في نقطتين |
| D = 0 | جذر حقيقي واحد مكرر، x = -b / (2a) | يلامس القطع المكافئ محور السينات عند رأسه |
| D < 0 | جذران مركبان مترافقان p ± qi | لا يتقاطع القطع المكافئ مع محور السينات |
- وفق علاقات فييتا، يحقق الجذران x1 + x2 = -b / a و x1 x x2 = c / a، وهي وسيلة سريعة للتحقق من أي حل.
- إذا كان a = 0 صارت المعادلة خطية لا تربيعية، ولا ينطبق عليها القانون العام؛ لذا تشترط هذه الحاسبة قيمة غير صفرية للمعامل a.
- تأتي الجذور المركبة لمعادلة تربيعية حقيقية المعاملات في أزواج مترافقة دائمًا: فإذا كان p + qi جذرًا، كان p - qi جذرًا أيضًا.
ما هي المعادلة التربيعية؟
المعادلة التربيعية معادلة كثيرة حدود من الدرجة الثانية، وتُكتب في الصورة القياسية ax^2 + bx + c = 0 بشرط ألا يساوي a صفرًا. يمثّل منحنى الدالة المقابلة y = ax^2 + bx + c قطعًا مكافئًا، وجذور المعادلة هي قيم x التي يقطع عندها القطع المكافئ محور السينات أو يلامسه.
لكل معادلة تربيعية جذران بالضبط إذا حُسب التكرار، وهي نتيجة مباشرة للمبرهنة الأساسية في الجبر. وتتحدد طبيعة هذين الجذرين تحديدًا كاملًا بقيمة المميز b^2 - 4ac: فالمميز الموجب يعطي جذرين حقيقيين مختلفين، والمميز الصفري يعطي جذرًا حقيقيًا واحدًا مكررًا (إذ يلامس القطع المكافئ المحور عند رأسه)، والمميز السالب يعطي جذرين مركبين مترافقين على الصورة p + qi و p - qi، حيث i هي الوحدة التخيلية.
تظهر المعادلات التربيعية في شتى فروع الرياضيات والعلوم التطبيقية، فحركة المقذوفات ومسائل المساحات والاستمثال ومسائل الفائدة المركبة والمعادلات المميزة للأنظمة الفيزيائية تؤول جميعها إلى معادلات تربيعية في الحالات المعتادة.
كيفية استخدام حاسبة المعادلة التربيعية
- اكتب معادلتك في الصورة القياسية ax^2 + bx + c = 0، وانقل جميع الحدود إلى طرف واحد عند اللزوم.
- أدخل المعاملات a و b و c مع إشاراتها. ولا يجوز أن يساوي المعامل a صفرًا، لأن ذلك يجعل المعادلة خطية.
- اطّلع على المميز لتعرف نوع الجذور المتوقعة: موجب يعني جذرين حقيقيين، وصفر يعني جذرًا واحدًا مكررًا، وسالب يعني جذورًا مركبة.
- اقرأ الجذور. وتُعرض الجذور المركبة على الصورة p ± qi.
القانون العام للمعادلة التربيعية
تُعطى جذور المعادلة ax^2 + bx + c = 0 بالعلاقة x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a). والمقدار الواقع تحت الجذر التربيعي، أي D = b^2 - 4ac، هو المميز.
مثال محلول (جذران حقيقيان): x^2 - 3x + 2 = 0، أي a = 1 و b = -3 و c = 2. المميز: (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1. الجذور: x = (3 ± sqrt(1)) / 2، ومنها x1 = (3 + 1) / 2 = 2 و x2 = (3 - 1) / 2 = 1. وللتحقق بالتحليل: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).
مثال محلول (جذران مركبان): x^2 + 2x + 5 = 0، أي a = 1 و b = 2 و c = 5. المميز: 4 - 20 = -16. والجذور هي x = (-2 ± sqrt(-16)) / 2 = (-2 ± 4i) / 2 = -1 ± 2i، وهما زوج مترافق مركب. ولا يقطع القطع المكافئ محور السينات إطلاقًا.
وعندما يساوي المميز صفرًا، يكون الجذر الوحيد المكرر هو x = -b / (2a)، وهو أيضًا الإحداثي السيني لرأس القطع المكافئ.
أخطاء شائعة
- الخطأ في الإشارات عند تحديد المعاملات: ففي المعادلة x^2 - 3x + 2 = 0 قيمة b هي -3 وليست 3.
- نسيان أن القانون يقسم البسط كاملًا على 2a؛ ومن الأخطاء الشائعة قسمة حد الجذر التربيعي وحده.
- حساب المميز b^2 - 4ac مع إهمال إشارة c: فإذا كان c سالبًا صار المقدار -4ac موجبًا.
- اعتبار المميز السالب دليلًا على انعدام الحل؛ فالمعادلة لها جذران مركبان مترافقان، وإنما لا حلول حقيقية لها.
- عدم إعادة كتابة المعادلة في الصورة القياسية أولًا: فالمعادلة 2x^2 = 6x - 4 يجب أن تصبح 2x^2 - 6x + 4 = 0 قبل استخراج قيم a و b و c.
الأسئلة الشائعة
كيف أحل معادلة تربيعية باستخدام القانون العام؟
اكتب المعادلة في الصورة ax^2 + bx + c = 0، ثم عوّض بالمعاملات في العلاقة x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a). ففي المعادلة x^2 - 3x + 2 = 0 يكون المميز 9 - 8 = 1، والجذران (3 ± 1) / 2، أي x = 2 و x = 1.
ماذا يخبرني المميز؟
يحدد المميز D = b^2 - 4ac نوع الجذور قبل الشروع في الحل. فإذا كان D > 0 فهناك جذران حقيقيان مختلفان، وإذا كان D = 0 فهناك جذر حقيقي واحد مكرر عند x = -b/(2a)، وإذا كان D < 0 فهناك جذران مركبان مترافقان ولا توجد حلول حقيقية. وهندسيًا يبيّن المميز ما إذا كان القطع المكافئ يقطع محور السينات أو يلامسه أو لا يمسه.
ما المقصود بالجذور المركبة؟
عندما يكون المميز سالبًا، يصبح المقدار تحت الجذر التربيعي في القانون العام عددًا سالبًا، فتأخذ الجذور الصورة p ± qi، حيث i = sqrt(-1) هي الوحدة التخيلية. فمثلًا المعادلة x^2 + 2x + 5 = 0 مميزها -16 وجذراها -1 + 2i و -1 - 2i. والجذور المركبة لمعادلة تربيعية حقيقية تأتي دائمًا في أزواج مترافقة.
هل يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية حل واحد فقط؟
نعم، وذلك عندما يساوي المميز صفرًا تمامًا. عندئذٍ يكون الجذر المكرر x = -b / (2a)، ويلامس القطع المكافئ محور السينات عند نقطة واحدة هي رأسه. فمثلًا المعادلة x^2 - 4x + 4 = 0 مميزها 16 - 16 = 0 ولها الجذر المزدوج الوحيد x = 2، إذ تُحلَّل إلى (x - 2)^2.
كيف أتحقق من صحة الجذور؟
عوّض بكل جذر في المعادلة، أو استعمل علاقات فييتا: يجب أن يحقق الجذران x1 + x2 = -b/a و x1 x x2 = c/a. ففي المعادلة x^2 - 3x + 2 = 0 بجذريها 2 و 1، مجموعهما 3 = -(-3)/1 وحاصل ضربهما 2 = 2/1، وهو ما يؤكد صحة الحل.
لماذا لا يجوز أن يساوي المعامل a صفرًا؟
إذا كان a = 0 اختفى حد x^2 وصارت المعادلة bx + c = 0 خطية، ولها الحل الوحيد x = -c/b (متى كان b غير صفري). كما أن القانون العام يقسم على 2a، فيصبح غير معرّف عند a = 0. لذا تشترط هذه الحاسبة قيمة غير صفرية للمعامل a.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Quadratic Equation." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Vieta's Formulas." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage (standard treatment of quadratic equations and the discriminant).