▦ حاسبة المصفوفات

فهم قيمة المحدد

لقيمة المحدد دلالة هندسية وجبرية مباشرة.

• تُعرض المصفوفة المعكوسة لمصفوفات 2x2 التي لا يساوي محددها صفرًا. أما المصفوفة الشاذة (محددها 0) فلا معكوس لها، ووضع 3x3 يعرض المحدد والأثر فقط.
• يجب إدخال العناصر مرتبة حسب الصفوف، وأن يطابق عددها الحجم المختار تمامًا: 4 عناصر للمصفوفة 2x2، و9 عناصر للمصفوفة 3x3.
• الأثر يساوي مجموع القيم الذاتية، والمحدد يساوي حاصل ضربها — وهما متطابقتان أساسيتان في الجبر الخطي.
• ضرب المصفوفات ليس إبداليًا في الحالة العامة، غير أن العلاقة A x A^-1 = A^-1 x A = I تتحقق دائمًا للمصفوفة A القابلة للعكس.

ما المقصود بمحدد المصفوفة وأثرها ومعكوسها؟

المصفوفة ترتيب مستطيل من الأعداد، وتكون مربعة إذا تساوى عدد صفوفها مع عدد أعمدتها. أما المحدد فهو عدد وحيد يُستخرج من المصفوفة المربعة ويكشف ما إذا كانت قابلة للعكس وكيف تغيّر مقياس الفضاء: التحويل الخطي الذي محدده d يضرب المساحات (في حالة 2x2) أو الأحجام (في حالة 3x3) في |d|، والمحدد السالب يدل على انعكاس يقلب الاتجاه.

تكون المصفوفة قابلة للعكس (غير شاذة) إذا كان محددها لا يساوي صفرًا، وذلك بالضبط. والمصفوفة المعكوسة A^-1 هي التي تُبطل أثر A: فحاصل ضرب A في A^-1 هو مصفوفة الوحدة. وحين يكون المحدد صفرًا تكون المصفوفة شاذة — أي تطوي الفضاء إلى مستقيم أو مستوٍ — ولا وجود لمعكوس لها. كما تحدد المحددات ما إذا كان للنظام الخطي Ax = b حل وحيد.

الأثر هو مجموع عناصر القطر الرئيسي (من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين)، وهو يساوي مجموع القيم الذاتية للمصفوفة ويظهر في كثير من مسائل الجبر الخطي والفيزياء. وفي حالة المصفوفة 2x2 تتحدد كثيرة الحدود المميزة كليًا بالأثر والمحدد: lambda^2 - trace x lambda + det = 0.

كيفية استخدام حاسبة المصفوفات

1. اختر حجم المصفوفة: 2 x 2 (وتتطلب 4 عناصر بالضبط) أو 3 x 3 (وتتطلب 9 عناصر بالضبط).
2. أدخل العناصر مرتبة حسب الصفوف — الصف الأول من اليسار إلى اليمين، ثم الصف الثاني، وهكذا. فللمصفوفة ذات الصفين (4, 7) و(2, 6) أدخل: 4; 7; 2; 6.
3. اقرأ قيمة المحدد وقيمة الأثر.
4. إذا كانت المصفوفة 2 x 2 ومحددها لا يساوي صفرًا فاقرأ المصفوفة المعكوسة، وتُعرض صفًا بعد صف بالشكل [a, b; c, d]. أما المصفوفات الشاذة (محددها 0) فلا معكوس لها، ووضع 3 x 3 يعرض المحدد والأثر فقط.

صيغ المحدد والأثر والمصفوفة المعكوسة

محدد المصفوفة 2x2: إذا كان صفاها (a, b) و(c, d) فإن det = ad - bc. مثال محلول بالصفين (4, 7) و(2, 6): det = 4 x 6 - 7 x 2 = 24 - 14 = 10، والأثر هو a + d = 4 + 6 = 10.

معكوس المصفوفة 2x2: عندما يكون المحدد مخالفًا للصفر يكون A^-1 = (1/det) x [d, -b; -c, a] — أي تبادل عنصري القطر الرئيسي، وتغيير إشارة العنصرين خارج القطر، ثم القسمة على المحدد. وفي المثال السابق: (1/10) x [6, -7; -2, 4] = [0.6, -0.7; -0.2, 0.4]. وللتحقق: ضرب المصفوفة الأصلية في هذا المعكوس يعطي مصفوفة الوحدة.

محدد المصفوفة 3x3 (بالمفكوك بالعوامل المرافقة على امتداد الصف الأول): إذا كانت الصفوف (a, b, c) و(d, e, f) و(g, h, i) فإن det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg). مثال محلول بالصفوف (1, 2, 3) و(4, 5, 6) و(7, 8, 10): det = 1 x (5 x 10 - 6 x 8) - 2 x (4 x 10 - 6 x 7) + 3 x (4 x 8 - 5 x 7) = 1 x 2 - 2 x (-2) + 3 x (-3) = 2 + 4 - 9 = -3، والأثر هو 1 + 5 + 10 = 16.

أخطاء شائعة

• إدخال القيم مرتبة حسب الأعمدة — فهذه الحاسبة تقرأ العناصر صفًا بعد صف، ومن ثم فإن [4, 7, 2, 6] تعني الصفين (4, 7) و(2, 6).
• حساب محدد المصفوفة 2x2 على أنه ad + bc بدلًا من ad - bc.
• إغفال تناوب الإشارات في مفكوك المصفوفة 3x3 بالعوامل المرافقة: فالحد الأوسط يُطرح، أي det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg).
• محاولة عكس مصفوفة محددها 0 — فالمصفوفات الشاذة لا معكوس لها.
• الخلط في اختصار معكوس المصفوفة 2x2 بتبادل الزوج الخاطئ: فالعنصران a وd على القطر هما اللذان يتبادلان، بينما يبقى b وc في موضعيهما مع تغيير الإشارة.

الأسئلة الشائعة

المراجع

1. Strang G. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press (determinants, inverses and the trace).
2. Weisstein, Eric W. "Determinant" and "Matrix Inverse." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
3. Anton H, Rorres C. Elementary Linear Algebra. Wiley (cofactor expansion and the adjugate formula).