من أين يأتي القانون العام للمعادلة التربيعية
يُشتق القانون العام للمعادلة التربيعية من المعادلة العامة ax^2 + bx + c = 0 (حيث a لا تساوي صفرًا) باستخدام تقنية تُسمى إكمال المربع. قسمة كل حد على a يعطي x^2 + (b/a)x + c/a = 0، ثم نقل الثابت إلى الطرف الآخر يعطي x^2 + (b/a)x = -c/a. إضافة (b/2a)^2 إلى كلا الطرفين يحوّل الطرف الأيسر إلى مربع كامل: (x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a.
تبسيط الطرف الأيمن على مقام مشترك يعطي (x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2). أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين (مع السماح بالجذر الموجب والسالب معًا) يعطي x + b/2a = زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ (b^2 - 4ac) / (2a)، وعزل x ينتج الصيغة المألوفة: x = (-b زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ b^2 - 4ac) / (2a). كل خطوة هنا جبر قابل للعكس، وهذا هو سبب صلاحية الصيغة لكل معادلة تربيعية ذات معامل قيادي غير صفري، وليس فقط تلك التي تُحلَّل إلى عوامل بسهولة.
المميز: ماذا يخبرك قبل أن تحل المعادلة
التعبير الموجود تحت الجذر التربيعي، b^2 - 4ac، يُسمى المميز، وإشارته وحدها تُحدد نوع جذور المعادلة، دون الحاجة إلى حساب الجذور نفسها. مميز موجب يعني أن الجذر التربيعي رقم حقيقي موجب، لذا فإن عملية زائد أو ناقص تُنتج قيمتين حقيقيتين متمايزتين لـ x. مميز يساوي صفرًا بالضبط يعني أن حد الجذر التربيعي يختفي تمامًا، لذا تنهار الحالتان (الزائد والناقص) إلى القيمة الواحدة x = -b / (2a).
مميز سالب يعني أن التعبير تحت الجذر التربيعي سالب، وهو ما ليس له جذر تربيعي حقيقي -- بل جذر تخيلي فقط، لأن الجذر التربيعي لعدد سالب يُعرَّف بأنه عدد حقيقي مضروب في i، حيث i هي الوحدة التخيلية التي تحقق i^2 = -1. في هذه الحالة، لا تزال الصيغة تُنتج إجابتين، لكنهما زوج مترافق من الأعداد المركبة على الصورة p + qi و p - qi، بدلاً من كونهما عددين حقيقيين.
| المميز (b^2 - 4ac) | عدد الجذور ونوعها | ماذا يفعل القطع المكافئ |
|---|---|---|
| موجب (> 0) | جذران حقيقيان متمايزان | يقطع محور x عند نقطتين |
| صفر (= 0) | جذر حقيقي واحد متكرر، x = -b / (2a) | يلامس محور x عند نقطة واحدة فقط (رأس القطع المكافئ) |
| سالب (< 0) | جذران مركبان مترافقان، p ± qi | لا يلامس محور x ولا يقطعه أبدًا |
مثال محلول 1: جذران حقيقيان متمايزان (D > 0)
حُل x^2 - 3x + 2 = 0. هنا a = 1، b = -3، c = 2. المميز هو (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1، وهو موجب، لذا يُتوقع وجود جذرين حقيقيين متمايزين. بتطبيق الصيغة: x = (3 زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ 1) / (2 × 1) = (3 زائد أو ناقص 1) / 2. هذا يعطي x1 = (3 + 1) / 2 = 2 و x2 = (3 - 1) / 2 = 1.
يمكن التحقق من هذين الجذرين بتحليل المعادلة الأصلية إلى عوامل: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)، وهو ما يساوي صفرًا بالضبط عندما تكون x = 1 أو x = 2، مما يؤكد إجابة الصيغة. تحقق إضافي يستخدم صيغتي فييتا: مجموع الجذرين يجب أن يساوي -b/a = 3، وبالفعل 2 + 1 = 3؛ وحاصل ضربهما يجب أن يساوي c/a = 2، وبالفعل 2 × 1 = 2.
مثال محلول 2: جذر حقيقي واحد متكرر (D = 0)
حُل x^2 - 4x + 4 = 0. هنا a = 1، b = -4، c = 4. المميز هو (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0، لذا يُتوقع جذر واحد متكرر. بما أن المميز يساوي صفرًا، تُبسَّط الصيغة مباشرة إلى x = -b / (2a) = 4 / 2 = 2.
هذه المعادلة تُحلَّل إلى (x - 2)^2 = 0، مما يؤكد أن x = 2 هو الجذر الوحيد، ويُحسب مرتين (بتعدد 2). هندسيًا، القطع المكافئ y = x^2 - 4x + 4 يلامس محور x فقط عند رأسه، (2, 0)، بدلاً من عبوره -- وهذه هي السمة المرئية لمميز يساوي صفرًا.
مثال محلول 3: جذران مركبان مترافقان (D < 0)
حُل x^2 + 2x + 5 = 0. هنا a = 1، b = 2، c = 5. المميز هو 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16، وهو سالب، لذا لا توجد جذور حقيقية. بتطبيق الصيغة: x = (-2 زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ -16) / (2 × 1). الجذر التربيعي لـ -16 هو 4i، لأن (4i)^2 = 16 × i^2 = 16 × (-1) = -16، لذا x = (-2 زائد أو ناقص 4i) / 2 = -1 زائد أو ناقص 2i.
الجذران هما إذًا -1 + 2i و -1 - 2i، وهما زوج مترافق من الأعداد المركبة -- بمعنى أنهما يشتركان في الجزء الحقيقي نفسه (-1) ولهما جزءان تخيليان متعاكسا الإشارة. القطع المكافئ y = x^2 + 2x + 5 يقع بالكامل فوق محور x (قيمته الدنيا، عند x = -1، تساوي 4)، وهذا هو السبب الهندسي في أنه لا يقطع المحور أبدًا، وبالتالي ليس له جذور حقيقية.
الأسئلة الشائعة
ما هو القانون العام للمعادلة التربيعية؟
يحل القانون العام أي معادلة من الصورة ax^2 + bx + c = 0، حيث a لا تساوي صفرًا، وينص على أن x = (-b زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ b^2 - 4ac)، والكل مقسوم على 2a. يُشتق بإكمال المربع على المعادلة التربيعية العامة، ويعمل لكل معادلة تربيعية، سواء كانت تُحلَّل إلى أعداد صحيحة أم لا.
ماذا يخبرك المميز؟
المميز، b^2 - 4ac، هو التعبير الموجود تحت الجذر التربيعي في القانون العام، وإشارته تكشف نوع الجذور قبل الحل. مميز موجب يعني جذرين حقيقيين متمايزين، ومميز يساوي صفرًا يعني جذرًا حقيقيًا واحدًا متكررًا عند x = -b/(2a)، ومميز سالب يعني جذرين مركبين مترافقين ولا حلول حقيقية.
كيف تحل معادلة تربيعية ذات جذور مركبة؟
عندما يكون المميز b^2 - 4ac سالبًا، خذ الجذر التربيعي لقيمته المطلقة وأضف إليه الوحدة التخيلية i. بالنسبة لـ x^2 + 2x + 5 = 0، المميز هو -16، والجذر التربيعي لـ -16 هو 4i، مما يعطي الجذرين x = (-2 زائد أو ناقص 4i) / 2 = -1 زائد أو ناقص 2i -- زوج مترافق من الأعداد المركبة.
من أين يأتي القانون العام للمعادلة التربيعية؟
يأتي من إكمال المربع على المعادلة العامة ax^2 + bx + c = 0. القسمة على a، وعزل الثابت، وإضافة (b/2a)^2 إلى كلا الطرفين يحوّل الطرف الأيسر إلى مربع كامل، (x + b/2a)^2. أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين وعزل x ينتج x = (-b زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ b^2 - 4ac) / (2a).
هل يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية حل واحد فقط؟
نعم، عندما يساوي المميز صفرًا بالضبط. في هذه الحالة تنهار عملية زائد أو ناقص في الصيغة إلى قيمة واحدة، x = -b / (2a)، تُسمى جذرًا متكررًا. على سبيل المثال، x^2 - 4x + 4 = 0 مميزها 16 - 16 = 0 وجذرها المتكرر الوحيد x = 2، لأن المعادلة تُحلَّل إلى (x - 2)^2 = 0.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Quadratic Equation." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Vieta's Formulas." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage (derivation of the quadratic formula and the discriminant).