فهم نتائج اللوغاريتم
تجيب الأسس الثلاثة المعيارية عن أسئلة مختلفة حول العدد نفسه. ويبيّن الجدول التالي قيمها عند x = 100.
| اللوغاريتم | الأساس | القيمة عند x = 100 | الاستخدام المعتاد |
|---|---|---|---|
| ln | e = 2.71828... | 4.60517 | التفاضل والتكامل، النمو والاضمحلال المستمران |
| log10 | 10 | 2 | الترميز العلمي، الديسيبل، درجة الحموضة، رتب المقدار |
| log2 | 2 | 6.643856 | علوم الحاسوب، نظرية المعلومات (البتات) |
- اللوغاريتمات غير معرَّفة للصفر وللأعداد السالبة، ويجب أن يكون الأساس موجبًا ولا يساوي 1.
- log_b(1) = 0 في كل أساس، لأن b^0 = 1؛ و log_b(b) = 1، لأن b^1 = b.
- يكون اللوغاريتم سالبًا عندما يقع المدخل بين 0 و 1 — فمثلًا log_10(0.01) = -2.
- يختلف الترميز باختلاف المجال: ففي الرياضيات البحتة كثيرًا ما يعني الرمز 'log' اللوغاريتم الطبيعي، بينما يعني في الهندسة وعلى معظم الآلات الحاسبة الأساس 10. ويوصي المعيار ISO 80000-2 بالترميزات الصريحة ln و lg و lb.
ما هو اللوغاريتم؟
لوغاريتم العدد x للأساس b، ويُكتب log_b(x)، هو الأس الذي يجب رفع b إليه للحصول على x: فإذا كان b^y = x فإن log_b(x) = y. فمثلًا log_10(100) = 2 لأن 10^2 = 100، و log_2(8) = 3 لأن 2^3 = 8. واللوغاريتمات هي العملية العكسية للرفع إلى قوة.
تسود ثلاثة أسس في التطبيق العملي. فاللوغاريتم الطبيعي (ln) يستعمل الأساس e (نحو 2.71828) وهو المعياري في التفاضل والتكامل ونماذج النمو والاضمحلال والعلوم عمومًا. أما اللوغاريتم العشري (log10) فيقوم عليه الترميز العلمي ومقاييس مثل الديسيبل ودرجة الحموضة pH. ويُستعمل اللوغاريتم الثنائي (log2) في علوم الحاسوب من تحليل الخوارزميات إلى نظرية المعلومات، حيث يقيس عدد البتات.
لا يُعرَّف اللوغاريتم إلا للأعداد الموجبة، ويجب أن يكون الأساس موجبًا ولا يساوي 1. فلا يوجد عدد حقيقي y يجعل b^y صفرًا أو سالبًا، ولهذا فإن log(0) ولوغاريتمات الأعداد السالبة غير معرَّفة، والأساس 1 مرفوض لأن الواحد مرفوعًا إلى أي قوة يظل 1.
كيفية استخدام حاسبة اللوغاريتم
- أدخل العدد x الذي تريد لوغاريتمه، ويجب أن يكون موجبًا.
- أدخل الأساس b، ويجب أن يكون موجبًا ولا يساوي 1؛ والاختيارات الشائعة هي 10 و 2 و e (نحو 2.71828).
- اقرأ لوغاريتم x للأساس b، المحسوب بقانون تغيير الأساس.
- قارن النتيجة باللوغاريتمات الطبيعي والعشري والثنائي للعدد نفسه، وهي معروضة إلى جانبها.
قانون تغيير الأساس
يمكن حساب أي لوغاريتم انطلاقًا من لوغاريتمات بأساس آخر: log_b(x) = ln(x) / ln(b). وبهذه المتطابقة تحسب الآلات الحاسبة اللوغاريتمات بأي أساس اعتمادًا على اللوغاريتم الطبيعي وحده.
مثال محلول: log_2(8). احسب ln(8) = 2.079442 و ln(2) = 0.693147؛ وخارج قسمتهما 2.079442 / 0.693147 = 3. وللتحقق: 2^3 = 8. ومثال آخر: log_10(100) = 2 لأن 10^2 = 100؛ وتعرض الحاسبة للمدخل نفسه أيضًا ln(100) = 4.60517 و log_2(100) = 6.643856.
تنبثق المتطابقات الجبرية الأساسية من التعريف مباشرة: لوغاريتم الجداء يساوي مجموع اللوغاريتمات، log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)؛ ولوغاريتم القسمة يساوي الفرق؛ ولوغاريتم القوة يُخرِج الأس إلى الأمام معاملًا، log_b(x^k) = k log_b(x). وهذه القواعد تحوّل الضرب إلى جمع، وهو الدافع الأصلي لوضع جداول اللوغاريتمات.
أخطاء شائعة
- أخذ لوغاريتم الصفر أو عدد سالب — فاللوغاريتمات معرَّفة للمدخلات الموجبة فقط.
- افتراض أن log(x + y) يساوي log(x) + log(y)؛ فقاعدة الجمع تنطبق على الجداء لا على المجموع: log(xy) = log(x) + log(y).
- الخلط في تحديد الأساس الذي يقصده الرمز 'log': فالآلات الحاسبة ولغات البرمجة تختلف في ذلك (ففي JavaScript الدالة Math.log هي اللوغاريتم الطبيعي).
- كتابة log_b(x^k) على صورة (log_b x)^k — فقاعدة القوة تنقل الأس إلى الأمام معاملًا للضرب لا أسًّا للوغاريتم.
- استعمال الأساس 1، وهو أساس لا يوجد له لوغاريتم، لأن الواحد مرفوعًا إلى أي قوة يساوي 1.
الأسئلة الشائعة
كم يساوي لوغاريتم 100 للأساس 10؟
log_10(100) = 2، لأن 10 مرفوعًا إلى القوة 2 يساوي 100. واللوغاريتم العشري يعدّ عوامل العشرة، لذا فإن log_10(1000) = 3 و log_10(0.01) = -2.
كيف أحسب لوغاريتمًا بأساس لا تدعمه آلتي الحاسبة؟
استعمل قانون تغيير الأساس: log_b(x) = ln(x) / ln(b)، أو ما يكافئه log_10(x) / log_10(b). فمثلًا log_5(125) = ln(125) / ln(5) = 4.828314 / 1.609438 = 3، وبالفعل 5^3 = 125.
ما الفرق بين ln و log؟
يدل الرمز ln دائمًا على اللوغاريتم الطبيعي بالأساس e (نحو 2.71828). أما 'log' فملتبس: ففي الرياضيات البحتة كثيرًا ما يعني اللوغاريتم الطبيعي، بينما يعني في الهندسة والكيمياء وعلى معظم الآلات الحاسبة اليدوية الأساس 10. ويوصي المعيار ISO 80000-2 بكتابة ln للأساس e و lg للأساس 10 و lb للأساس 2 تفاديًا للالتباس.
لماذا لا يمكن أخذ لوغاريتم عدد سالب؟
لأن أي قوة حقيقية لأساس موجب لا تعطي نتيجة سالبة: فالمقدار b^y موجب لكل y حقيقي متى كان b > 0. ومن ثم لا توجد قيمة حقيقية للمقدار log_b(x) عندما x <= 0. (وفي التحليل المركب يمكن تعريف لوغاريتمات الأعداد السالبة، لكنها متعددة القيم وخارجة عن نطاق الحاسبات ذات القيم الحقيقية.)
فيمَ يُستعمل log2؟
يقيس اللوغاريتم الثنائي log_2 عدد عمليات المضاعفة اللازمة للوصول إلى عدد ما، وهو ما يجعله أساسيًا في علوم الحاسوب: فالبحث الثنائي في n عنصرًا مرتبًا يستغرق نحو log_2(n) خطوة، كما يعطي log_2 عدد البتات اللازمة لتمثيل n قيمة مختلفة. فمثلًا log_2(1024) = 10، أي أن 10 بتات تعنون 1024 قيمة.
ماذا يعني المقياس اللوغاريتمي؟
المقياس اللوغاريتمي يباعد بين القيم بنسب متساوية لا بفروق متساوية: فكل خطوة تضرب في عامل ثابت. والديسيبل ومقياس ريختر للقوة ودرجة الحموضة pH مقاييس لوغاريتمية — فزيادة وحدة واحدة في pH تعني انخفاض تركيز أيونات الهيدروجين إلى العُشر. وتتيح المقاييس اللوغاريتمية عرض كميات تمتد على رتب مقدار عديدة على محور واحد بصورة مقروءة.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Logarithm." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- ISO 80000-2:2019. Quantities and units — Part 2: Mathematics (standard notation for ln, lg, lb).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, 1964 (Chapter 4: elementary transcendental functions).