فهم المقياس والسعة
يصف المقياس والسعة معاً موقع العدد المركب في المستوى المركب بالصورة القطبية، وهي صورة مكمّلة للصورة الديكارتية a + bi.
| المقدار | المعنى | الصيغة |
|---|---|---|
| المقياس |z| | البعد من نقطة الأصل إلى النقطة (a, b) — أي مقدار العدد | √(a² + b²) |
| السعة arg(z) | الزاوية (بالدرجات هنا) من المحور الحقيقي الموجب إلى النقطة (a, b) | atan2(b, a) |
| المرافق z̄ | انعكاس a + bi حول المحور الحقيقي | a − bi |
- تُحسب السعة بدالة الظل العكسي ثنائية الوسيط (atan2)، التي تضع الزاوية في الربع الصحيح مهما كانت إشارتا الجزأين الحقيقي والتخيلي، خلافاً لدالة arctan(b/a) المجردة.
- القسمة على صفر (0 + 0i) غير معرَّفة رياضياً؛ ولذلك لا تعرض هذه الحاسبة أي نتيجة في تلك الحالة بدلاً من إعطاء قيمة اعتباطية.
- تُقرَّب النتائج إلى 6 منازل عشرية للجزأين الحقيقي والتخيلي، وإلى 4 منازل عشرية للسعة مقيسة بالدرجات.
ما هو العدد المركب؟
يأخذ العدد المركب الصورة a + bi، حيث a هو الجزء الحقيقي وb هو الجزء التخيلي وi هي الوحدة التخيلية المعرَّفة بالعلاقة i² = −1. وتوسّع الأعداد المركبة خط الأعداد الحقيقية ليصبح مستوى ثنائي الأبعاد (المستوى المركب)، إذ يُرسم الجزء الحقيقي على المحور الأفقي والجزء التخيلي على المحور الرأسي. وتظهر هذه الأعداد بصورة طبيعية عند حل المعادلات كثيرة الحدود التي ليس لها جذور حقيقية، مثل x² + 1 = 0.
لكل عدد مركب a + bi وصفان معياريان إضافيان: مقياسه |z| = √(a² + b²)، وهو البعد من نقطة الأصل إلى النقطة (a, b) في المستوى المركب، وسعته arg(z) = atan2(b, a)، وهي الزاوية التي يصنعها الخط الواصل من نقطة الأصل إلى (a, b) مع المحور الحقيقي الموجب. ويشكل المقياس والسعة معاً الصورة القطبية للعدد المركب، وهي بديل عن الصورة الديكارتية a + bi وغالباً ما تكون أيسر في عمليات الضرب والقسمة ورفع القوى.
وللأعداد المركبة تطبيقات عملية تتجاوز الرياضيات البحتة بكثير: فمهندسو الكهرباء يستخدمونها لتمثيل الممانعة وفرق الطور في التيار المتردد، ويستعين بها علم التحكم في تحليل استقرار الأنظمة عبر مواقع الأقطاب في المستوى المركب، بينما تعتمد معالجة الإشارات على الدوال الأسية المركبة في تحويل فورييه.
كيفية استخدام حاسبة الأعداد المركبة
- أدخل الجزء الحقيقي (a) والجزء التخيلي (b) للعدد المركب الأول a + bi.
- اختر العملية: جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة.
- أدخل الجزء الحقيقي (c) والجزء التخيلي (d) للعدد المركب الثاني c + di.
- اقرأ الناتج بالصورة a + bi مصحوباً بمقياسه (مقداره) وسعته (الزاوية بالدرجات). والقسمة غير معرَّفة عندما يكون العدد الثاني 0 + 0i.
صيغ حساب الأعداد المركبة
يجمع الجمع والطرح الأجزاء الحقيقية مع بعضها والأجزاء التخيلية مع بعضها، تماماً كما تُجمع الحدود المتشابهة في الجبر العادي: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
أما الضرب فيُفكّ كحاصل ضرب مقدارين ذوي حدين ثم يُبسَّط باستخدام i² = −1: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i. مثال محلول بالقيم الافتراضية a=3, b=2, c=1, d=−4: (3 + 2i)(1 − 4i) = (3×1 − 2×(−4)) + (3×(−4) + 2×1)i = (3 + 8) + (−12 + 2)i = 11 − 10i.
وتتم القسمة بضرب البسط والمقام في المرافق المركب للمقام (c − di) للتخلص من الجزء التخيلي في المقام: (a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c² + d²). وهذه العملية غير معرَّفة عندما يكون c² + d² = 0، أي عندما يكون المقسوم عليه 0 + 0i.
ومقياس الناتج هو |z| = √(x² + y²) حيث x وy هما الجزآن الحقيقي والتخيلي للناتج، وسعته arg(z) = atan2(y, x) محوَّلة إلى درجات. فبالنسبة إلى 11 − 10i يكون المقياس √(11² + 10²) = √221 ≈ 14.866 والسعة atan2(−10, 11) ≈ −42.274°.
أخطاء شائعة
- نسيان أن i² = −1 عند الضرب — فهذه هي الخطوة التي تحوّل الحد bdi² إلى إسهام حقيقي (لا تخيلي) مقداره −bd.
- قسمة الأعداد المركبة مباشرة بدل الضرب أولاً في مرافق المقام — إذ تُبقي القسمة المباشرة حداً تخيلياً في المقام، وهي صورة نهائية غير مقبولة.
- الخلط بين المقياس (وهو مقدار لا يقل أبداً عن الصفر) وبين الجزء الحقيقي — فالمقياس يستعمل الجزأين الحقيقي والتخيلي معاً عبر √(a² + b²).
- قراءة السعة على أنها arctan(b/a) فحسب — فهذا يعطي زاوية خاطئة في الربعين الثاني والثالث (حيث a سالب)؛ والصحيح استعمال atan2(b, a) للحصول على الربع الصحيح.
- الخلط بين زوجي المدخلات وأيهما يخص أي عدد — فالحاسبة تعامل (a, b) بوصفه العدد الأول و(c, d) بوصفه العدد الثاني، وتطبقهما بهذا الترتيب في الطرح والقسمة، وهما عمليتان غير إبداليتين.
الأسئلة الشائعة
كيف تضرب عددين مركبين؟
فُكّ حاصل الضرب كما تفك حاصل ضرب مقدارين ذوي حدين، ثم استبدل i² بـ −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. فمثلاً (3 + 2i)(1 − 4i) = (3×1 − 2×(−4)) + (3×(−4) + 2×1)i = 11 − 10i. فالجزء الحقيقي لحاصل الضرب هو ac − bd، والجزء التخيلي هو ad + bc.
كيف تقسم الأعداد المركبة؟
اضرب البسط والمقام في المرافق المركب للمقام، فيختفي i من المقام: (a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c² + d²). وينجح ذلك لأن (c + di)(c − di) = c² + d²، وهو عدد حقيقي. والقسمة غير معرَّفة إذا كان المقام 0 + 0i.
ما هو مقياس العدد المركب؟
المقياس، ويُرمز له بـ |z|، هو البعد من نقطة الأصل إلى النقطة التي تمثل العدد المركب في المستوى المركب، ويُحسب بالعلاقة |a + bi| = √(a² + b²). وهو تعميم للقيمة المطلقة من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد المركبة، ويكون دائماً عدداً حقيقياً غير سالب.
ما قيمة i تربيع؟
بحسب التعريف، i² = −1. فالوحدة التخيلية i معرَّفة تحديداً بحيث يكون مربعها سالب واحد، وهو ما يتيح للأعداد المركبة تمثيل حلول معادلات مثل x² + 1 = 0 التي لا حل حقيقياً لها.
ما هي سعة العدد المركب؟
السعة arg(z) هي الزاوية المحصورة بين المحور الحقيقي الموجب والخط الواصل من نقطة الأصل إلى النقطة (a, b) الممثلة للعدد المركب a + bi، وتُقاس عكس اتجاه عقارب الساعة. وتُحسب بالعلاقة atan2(b, a) لضمان الربع الصحيح، وتعرضها هذه الحاسبة بالدرجات.
لماذا نستعمل المرافق المركب في القسمة؟
لأن ضرب العدد المركب c + di في مرافقه c − di يعطي ناتجاً حقيقياً خالصاً هو c² + d²، إذ تتلاشى الحدود المتقاطعة: (c + di)(c − di) = c² − (di)² = c² + d². ولذلك فإن ضرب بسط القسمة ومقامها في مرافق المقام يزيل الجزء التخيلي من المقام، فينتج جواب بالصورة القياسية a + bi.
المراجع
- Churchill RV, Brown JW. Complex Variables and Applications. 9th ed. McGraw-Hill, 2013.
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.9 Calculus of a Complex Variable. dlmf.nist.gov.
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Appendix on complex numbers.)