فهم النتائج
يوضح الجدول التالي المخرجات الثلاثة لعدد من الأمثلة.
| المُدخل | أولي؟ | التحليل إلى عوامل أولية | العدد الأولي التالي |
|---|---|---|---|
| 97 | نعم | 97 | 101 |
| 84 | لا | 2 x 2 x 3 x 7 | 89 |
| 100 | لا | 2 x 2 x 5 x 5 | 101 |
| 2 | نعم (العدد الأولي الزوجي الوحيد) | 2 | 3 |
| 1 | لا (ليس أوليًا ولا مركبًا) | - | 2 |
- العدد 1 ليس أوليًا: فالعدد الأولي يجب أن يكون له قاسمان مختلفان بالضبط، أما 1 فله قاسم واحد فقط. واستثناء العدد 1 هو ما يحفظ وحدانية التحليل إلى عوامل أولية.
- القسمة التجريبية دقيقة تمامًا لكنها تبطؤ مع الأعداد الكبيرة جدًا؛ وتقبل هذه الحاسبة أعدادًا تصل إلى 10^12، حيث يفحص البحث القواسم حتى مليون.
- يُضمن أن ينتهي البحث عن العدد الأولي التالي بسرعة ضمن هذا المجال: فبحسب مسلّمة برتراند يوجد دائمًا عدد أولي بين n و2n.
ما هو العدد الأولي؟
العدد الأولي عدد طبيعي أكبر من 1 له قاسمان موجبان بالضبط: 1 ونفسه. وأوائل الأعداد الأولية هي 2 و3 و5 و7 و11 و13 و17 و19 و23 و29. والعدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد، لأن كل عدد زوجي آخر يقبل القسمة على 2. أما الأعداد الأكبر من 1 وغير الأولية فتسمى أعدادًا مركبة، والعدد 1 ليس أوليًا ولا مركبًا بحكم التعريف.
تنص المبرهنة الأساسية في الحساب على أن كل عدد صحيح أكبر من 1 يمكن كتابته جداءً لأعداد أولية بطريقة واحدة فقط، بغض النظر عن ترتيب العوامل. وهذا التحليل الوحيد إلى عوامل أولية هو سبب تسمية الأعداد الأولية بلبنات بناء الأعداد الصحيحة: فمثلًا 84 = 2^2 x 3 x 7، ولا يوجد أي تشكيل آخر من الأعداد الأولية جداؤه 84.
الأعداد الأولية غير منتهية في عددها، وهي نتيجة برهنها إقليدس نحو عام 300 قبل الميلاد، وتزداد ندرتها كلما كبرت الأعداد دون أن تخضع لنمط بسيط. وتقوم على الأعداد الأولية الكبيرة أنظمة التعمية بالمفتاح العام الحديثة (مثل RSA)، التي تعتمد على صعوبة تحليل جداء عددين أوليين كبيرين جدًا عمليًا.
كيفية استخدام حاسبة الأعداد الأولية
- أدخل عددًا صحيحًا n لا يقل عن 1. تُقرَّب الأعداد العشرية إلى الأسفل نحو أقرب عدد صحيح.
- اقرأ حكم الأولية: علامة الصح تعني أن العدد أولي، وعلامة الخطأ تعني أنه مركب (أو أنه العدد 1، وهو ليس أوليًا ولا مركبًا).
- اطّلع على التحليل إلى عوامل أولية، أي الجداء الوحيد للأعداد الأولية الذي يساوي عددك. وإذا كان المُدخل أوليًا فإن تحليله هو العدد نفسه.
- اقرأ العدد الأولي التالي، أي أصغر عدد أولي أكبر تمامًا من عددك.
كيف تُختبر الأولية: القسمة التجريبية
يكون العدد n مركبًا إذا وفقط إذا كان له قاسم أكبر من 1 ولا يتجاوز الجذر التربيعي لـ n. والسبب أن القواسم تأتي أزواجًا: فإذا كان n = a x b مع a <= b، فإن a <= sqrt(n). لذلك تكفي القسمة التجريبية باختبار القواسم المحتملة حتى sqrt(n)، وبعد فحص 2 يكفي اختبار الفردية منها فقط.
مثال محلول (عدد أولي): n = 97. الجذر التربيعي لـ 97 يساوي نحو 9.85، لذا يكفي اختبار 2 و3 و5 و7 و9. العدد 97 فردي؛ ومجموع رقميه 9 + 7 = 16 لا يقبل القسمة على 3؛ ولا ينتهي بالرقم 0 أو 5؛ و97 / 7 = 13.857...؛ و97 / 9 ليست قسمة تامة. إذن لا يوجد أي قاسم، وبالتالي فإن 97 عدد أولي.
مثال محلول (التحليل إلى عوامل): n = 84. اقسم على الأعداد الأولية بدءًا من أصغرها: 84 / 2 = 42، ثم 42 / 2 = 21، ثم 21 / 3 = 7، والعدد 7 أولي. إذن 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 2^2 x 3 x 7. والعدد الأولي التالي بعد 84 هو 89 (لأن 85 = 5 x 17، و86 = 2 x 43، و87 = 3 x 29، و88 = 2^3 x 11).
أخطاء شائعة
- اعتبار العدد 1 عددًا أوليًا، مع أن العدد الأولي بحكم التعريف له قاسمان مختلفان بالضبط، بينما لـ 1 قاسم واحد فقط.
- الاعتقاد بأن جميع الأعداد الأولية فردية: فالعدد 2 أولي، وهو العدد الأولي الزوجي الوحيد.
- اختبار القواسم حتى العدد n نفسه بدل التوقف عند sqrt(n)، فأي عدد مركب له عامل لا يتجاوز جذره التربيعي.
- الظن بأن كل عدد فردي أولي: فالأعداد 9 = 3 x 3 و15 = 3 x 5 و21 = 3 x 7 أعداد فردية مركبة.
- الخلط بين التحليل إلى عوامل أولية وأي تحليل إلى عوامل: فالكتابة 84 = 4 x 21 تحليل صحيح، لكن التحليل إلى عوامل أولية هو 2 x 2 x 3 x 7.
الأسئلة الشائعة
كيف أتحقق من أن عددًا ما أولي؟
اختبر ما إذا كان أي عدد صحيح من 2 حتى الجذر التربيعي للعدد يقسمه قسمة تامة. فإذا لم يقسمه أي منها كان العدد أوليًا. ففي حالة 97 يبلغ الجذر التربيعي نحو 9.85، ولا يقسم 97 أيٌّ من 2 أو 3 أو 5 أو 7 أو 9، إذن 97 عدد أولي. وأزواج القواسم تضمن أن لكل عدد مركب عاملًا لا يتجاوز جذره التربيعي.
لماذا لا يُعدّ العدد 1 عددًا أوليًا؟
يُعرَّف العدد الأولي بأن له قاسمين موجبين مختلفين بالضبط هما 1 ونفسه، بينما للعدد 1 قاسم واحد فقط. كما يحمي هذا التعريف المبرهنة الأساسية في الحساب: فلو كان 1 أوليًا لما بقي التحليل وحيدًا (إذ سيصبح 6 = 2 x 3 = 1 x 2 x 3 = 1 x 1 x 2 x 3 وهكذا).
ما المقصود بالتحليل إلى عوامل أولية؟
هو كتابة العدد على صورة جداء أعداد أولية، وتضمن المبرهنة الأساسية في الحساب أن هذه الكتابة وحيدة بغض النظر عن الترتيب. فمثلًا 84 = 2 x 2 x 3 x 7. وللحصول عليه اقسم العدد تكرارًا على أصغر عدد أولي يقسمه قسمة تامة حتى يصبح الناتج المتبقي 1 أو عددًا أوليًا.
هل العدد 2 عدد أولي؟
نعم، فالعدد 2 أولي لأن قاسميه الوحيدين هما 1 و2، وهو العدد الأولي الزوجي الوحيد. أما كل عدد زوجي آخر فيقبل القسمة على 2 وبالتالي يكون مركبًا. ولهذا تعالج اختبارات الأولية العدد 2 على حدة ثم تفحص المرشحين الفرديين فقط.
كم عدد الأعداد الأولية؟
عددها غير منتهٍ، كما برهن إقليدس نحو عام 300 قبل الميلاد: فإذا أخذت أي قائمة منتهية من الأعداد الأولية، فإن العدد الناتج عن ضربها جميعًا ثم إضافة 1 لا يقبل القسمة على أي منها، ما يعني أن ثمة عددًا أوليًا غائبًا عن القائمة. وتقلّ كثافة الأعداد الأولية كلما كبرت الأعداد، فبحسب مبرهنة الأعداد الأولية تبلغ كثافتها قرب n نحو 1 / ln(n)، لكنها لا تنتهي أبدًا.
لماذا تهم الأعداد الأولية في التعمية؟
تقوم أنظمة المفتاح العام مثل RSA على عدم تماثل: فضرب عددين أوليين كبيرين سهل، بينما استخراج العددين الأوليين من جدائهما صعب حسابيًا عند الأحجام المستخدمة عمليًا (مئات الأرقام). وتُبنى مفاتيح الأمان من هذه الجداءات، ولذلك يُعدّ توليد الأعداد الأولية واختبار الأولية عمليتين أساسيتين في التعمية.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Prime Number" and "Fundamental Theorem of Arithmetic." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Hardy GH, Wright EM. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press (primes, unique factorization, Bertrand's postulate).
- Euclid. Elements, Book IX, Proposition 20 (infinitude of primes).