فهم التقارب والتباعد
يتوقف تقارب السلسلة الهندسية إلى مجموع منتهٍ عند إضافة مزيد من الحدود على مقدار الأساس الضربي وحده، كما يلخص الجدول التالي.
| الأساس الضربي |r| | سلوك الحدود | المجموع اللانهائي |
|---|---|---|
| |r| < 1 (مثلًا r = 0.5) | تتقلص الحدود مقتربة من 0 | متقاربة: S∞ = a₁ ÷ (1 − r) |
| |r| = 1 | يبقى مقدار الحدود ثابتًا (أو تتناوب الإشارة إذا كان r = −1) | متباعدة (لا مجموع منتهٍ، عدا الحالة التافهة a₁ = 0) |
| |r| > 1 (مثلًا r = 3) | تكبر مقادير الحدود بلا حدود | متباعدة (لا مجموع منتهٍ) |
- تعرض المعاينة حتى أول 8 حدود؛ وإذا كان n أكبر من 8 تشير النقاط (…) إلى وجود حدود إضافية، مع أن الحد النوني والمجموع المنتهي يُحسبان بدقة تامة لقيمة n المُدخلة كاملة.
- لا تظهر نتيجة المجموع اللانهائي إلا عندما |r| < 1؛ وفي بقية الحالات لا يكون للسلسلة مجموع منتهٍ، فتنبّه الحاسبة إلى ذلك بدل عرض رقم مضلل.
- الأساس الضربي المساوي للصفر تمامًا لا يعطي متتالية هندسية قياسية (إذ ستصير كل الحدود بعد الأول أصفارًا)، أما الأساس السالب فينتج متتالية تتناوب إشارتها من حد إلى آخر.
ما المقصود بالمتتالية الهندسية؟
المتتالية الهندسية (أو المتوالية الهندسية) هي قائمة مرتّبة من الأعداد يُحصل فيها على كل حد بعد الحد الأول بضرب الحد السابق في ثابت يسمى الأساس الضربي (r). فمثلًا 2, 6, 18, 54, 162 متتالية هندسية حدها الأول 2 وأساسها الضربي 3، لأن كل حد يساوي ثلاثة أمثال الحد الذي يسبقه.
عندما يكون |r| > 1 تكبر مقادير الحدود بلا حدود (نمو أسي)، وعندما يكون 0 < |r| < 1 تتقلص الحدود مقتربة من الصفر (تناقص أسي)، وعندما r = 1 تتساوى جميع الحدود مع الحد الأول، وإذا كان r سالبًا تتناوب إشارات الحدود. وتُستخدم المتتاليات الهندسية في نمذجة الفائدة المركبة، وتضاعف عدد السكان، والاضمحلال الإشعاعي، وكل عملية تُضرب فيها كمية مرارًا في العامل نفسه.
السلسلة الهندسية هي مجموع حدود متتالية هندسية. وخلافًا للسلسلة الحسابية، قد يكون للسلسلة الهندسية مجموع منتهٍ حتى مع امتدادها إلى عدد لا نهائي من الحدود، بشرط أن تكون القيمة المطلقة للأساس الضربي أصغر من 1 تمامًا — وهي خاصية لا نظير لها في المتتاليات الحسابية.
كيفية استخدام حاسبة المتتالية الهندسية
- أدخل الحد الأول للمتتالية (a₁) — أي القيمة التي تبدأ منها.
- أدخل الأساس الضربي (r) — العامل الثابت الذي يُضرب فيه كل حد للحصول على الحد التالي. استخدم قيمة بين −1 و1 (باستثناء 0) لترى مجموعًا لانهائيًا متقاربًا.
- أدخل عدد الحدود (n) الذي تريد إيجاد الحد النوني والمجموع الجزئي عنده.
- اطّلع على الحد النوني، ومجموع أول n من الحدود، والمجموع اللانهائي (ولا يظهر إلا عندما |r| < 1)، ومعاينة تعرض حتى أول 8 حدود.
صيغ المتتالية الهندسية
يُوجد الحد النوني بضرب الحد الأول في الأساس الضربي مرفوعًا إلى الأس (n − 1): aₙ = a₁ × r^(n−1). مثال محلول عندما a₁ = 2 و r = 3 و n = 5: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
يُحسب مجموع أول n من الحدود بالصيغة المغلقة Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) عندما r ≠ 1، وتُشتق هذه الصيغة بطرح نسخة مضروبة من السلسلة من السلسلة نفسها حتى تتلاشى جميع الحدود عدا الأول والأخير. أما عندما r = 1 فتتساوى جميع الحدود مع a₁ ويكون المجموع ببساطة Sₙ = a₁ × n. مثال محلول: S₅ = 2 × (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 2 × 242 ÷ 2 = 242.
عندما |r| < 1 يتقلص المقدار rⁿ مقتربًا من 0 كلما كبرت n بلا حدود، فتتقارب صيغة المجموع الجزئي إلى نهاية منتهية: S∞ = a₁ ÷ (1 − r). فمثلًا عندما a₁ = 8 و r = 0.5 يكون S∞ = 8 ÷ (1 − 0.5) = 16 — أي أن المجموع اللانهائي للحدود 8, 4, 2, 1, 0.5, … يقترب من 16 دون أن يتجاوزها أبدًا. أما عندما |r| ≥ 1 فالمجموع اللانهائي متباعد (ليس له قيمة منتهية)، ولذلك لا تعرضه هذه الحاسبة.
أخطاء شائعة
- استخدام n بدل (n − 1) في الأس — فالحد الأول (n = 1) يساوي a₁ × r⁰ = a₁ لا a₁ × r¹، ولذلك يبقى الأس دائمًا (n − 1).
- تطبيق صيغة المجموع اللانهائي عندما |r| ≥ 1 — ففي هذه الحالة تتباعد السلسلة ولا مجموع منتهٍ لها؛ والصيغة a₁ ÷ (1 − r) لا تصلح إلا عندما |r| < 1.
- الخلط بين الأساس الضربي وأساس المتتالية الحسابية — فالمتتالية الهندسية تضرب في r في كل خطوة، أما الحسابية فتضيف d في كل خطوة.
- نسيان أن الأساس الضربي السالب ينتج متتالية متناوبة الإشارة (مثل 2, −6, 18, −54 عندما a₁ = 2 و r = −3)، وهو ما يظنه بعض المتعلمين خطأً في الحساب لا سلوكًا متوقعًا.
الأسئلة الشائعة
كيف نوجد الحد النوني لمتتالية هندسية؟
استخدم الصيغة aₙ = a₁ × r^(n−1)، حيث a₁ الحد الأول وr الأساس الضربي وn رتبة الحد. فعندما a₁ = 2 وr = 3 وn = 5: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
كيف نحسب مجموع سلسلة هندسية؟
إذا كان عدد الحدود منتهيًا فاستخدم Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) عندما r ≠ 1. فعندما a₁ = 2 وr = 3 وn = 5: S₅ = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 242. أما السلسلة الهندسية اللانهائية التي يكون فيها |r| < 1 فتُستخدم لها الصيغة S∞ = a₁ ÷ (1 − r).
متى يكون للسلسلة الهندسية اللانهائية مجموع؟
لا تتقارب السلسلة الهندسية اللانهائية إلى مجموع منتهٍ إلا إذا كانت القيمة المطلقة للأساس الضربي أصغر من 1 تمامًا (|r| < 1)، وعندئذٍ يكون S∞ = a₁ ÷ (1 − r). أما إذا كان |r| ≥ 1 فالحدود لا تتقلص نحو الصفر، فيكبر المجموع بلا حدود وتتباعد السلسلة.
ما الفرق بين المتتالية الهندسية والمتتالية الحسابية؟
تضرب المتتالية الهندسية في نسبة ثابتة (r) للحصول على الحد التالي، فينتج نمو أو تناقص أسي. أما المتتالية الحسابية فتضيف فرقًا ثابتًا (d) للحصول على الحد التالي، فينتج نمو أو تناقص خطي. ولا يمكن عمومًا أن تكون المتتالية من النوعين معًا إلا إذا كان الأساس الضربي يساوي 1 (متتالية ثابتة).
هل يمكن أن يكون الأساس الضربي سالبًا؟
نعم. الأساس الضربي السالب ينتج متتالية متناوبة تنقلب فيها الإشارة عند كل حد. فمثلًا عندما a₁ = 2 وr = −3 نحصل على 2, −6, 18, −54, 162، فتتناوب القيم بين الموجب والسالب مع بقائها محكومة بالصيغة aₙ = a₁ × r^(n−1).
المراجع
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Geometric Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Geometric series convergence.)