قراءة معاينة المتتالية
تحدد إشارة أساس المتتالية ما إذا كانت المتتالية متزايدة أو متناقصة أو ثابتة، كما يوضح الجدول التالي عند حد أول قيمته 3.
| أساس المتتالية (d) | السلوك | أول 5 حدود (a₁ = 3) |
|---|---|---|
| d > 0 (مثلًا d = 4) | متتالية متزايدة | 3, 7, 11, 15, 19 |
| d = 0 | متتالية ثابتة — كل حد يساوي a₁ | 3, 3, 3, 3, 3 |
| d < 0 (مثلًا d = −4) | متتالية متناقصة | 3, −1, −5, −9, −13 |
- تعرض المعاينة حتى أول 8 حدود؛ وإذا كان n أكبر من 8 تشير النقاط (…) إلى أن المتتالية تستمر بعد ما هو معروض، مع أن الحد النوني والمجموع يُحسبان بدقة تامة لقيمة n التي أدخلتها كاملة.
- بخلاف المتتالية الهندسية، ليس لحدود المتتالية الحسابية حد أعلى أو أدنى مهما كبرت n (ما لم يكن d = 0)، ولا يوجد 'مجموع لا نهائي' منتهٍ — إذ يكبر المجموع الجزئي Sₙ بلا حدود كلما زادت n (عندما d ≠ 0).
ما المقصود بالمتتالية الحسابية؟
المتتالية الحسابية (أو المتوالية الحسابية) هي قائمة مرتّبة من الأعداد يكون الفرق فيها بين كل حد والحد الذي يسبقه ثابتًا دائمًا، ويسمى هذا الثابت أساس المتتالية (d). فمثلًا 3, 7, 11, 15, 19 متتالية حسابية حدها الأول 3 وأساسها 4، لأن كل حد يزيد على سابقه بمقدار 4.
قد يكون أساس المتتالية موجبًا (متتالية متزايدة)، أو سالبًا (متتالية متناقصة)، أو صفرًا (متتالية ثابتة تتساوى فيها جميع الحدود مع الحد الأول). وتصلح المتتاليات الحسابية لنمذجة أي عملية تتغير بالمقدار الثابت نفسه في كل خطوة، مثل خطة ادخار بدفعات ثابتة متساوية، أو صفوف مقاعد يزيد كل صف فيها بعدد ثابت من المقاعد، أو عدّاد تنازلي ينقص بفاصل زمني ثابت.
يُسأل عادةً عن مقدارين مرتبطين بالمتتالية الحسابية: قيمة حد بعينه (الحد النوني)، ومجموع سلسلة من الحدود المتتابعة (المجموع الجزئي، ويسمى أحيانًا السلسلة الحسابية). وتحسب هذه الأداة كليهما من المدخلات الثلاثة نفسها.
كيفية استخدام حاسبة المتتالية الحسابية
- أدخل الحد الأول للمتتالية (a₁) — أي القيمة التي تبدأ منها.
- أدخل أساس المتتالية (d) — المقدار الثابت الذي يُضاف إلى كل حد للحصول على الحد التالي. استخدم عددًا سالبًا إذا كانت المتتالية متناقصة.
- أدخل عدد الحدود (n) الذي تريد إيجاد الحد النوني والمجموع عنده.
- اطّلع على الحد النوني، ومجموع أول n من الحدود، ومعاينة تعرض حتى أول 8 حدود من المتتالية.
صيغتا المتتالية الحسابية
يُوجد الحد النوني للمتتالية الحسابية بالانطلاق من الحد الأول وإضافة أساس المتتالية (n − 1) مرة، لأن الحد الأول نفسه لا يحتاج إلى أي إضافة: aₙ = a₁ + (n − 1)d. مثال محلول عندما a₁ = 3 و d = 4 و n = 10: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
يعتمد مجموع أول n من الحدود على أن جمع الحد الأول مع الأخير، والثاني مع ما قبل الأخير، وهكذا، يعطي دائمًا المجموع نفسه (a₁ + aₙ). ومن ذلك نحصل على الصيغة المغلقة Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d)، وتكافئها Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ). مثال محلول: S₁₀ = (10/2) × (2 × 3 + 9 × 4) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
تُنسب صيغة المجموع هذه في الروايات الرياضية المتداولة إلى كارل فريدريش غاوس في صباه، إذ يُقال إنه جمع الأعداد من 1 إلى 100 بمزاوجة 1+100 و2+99 وهكذا، فحصل على 50 زوجًا مجموع كل منها 101، ليكون المجموع الكلي 5050 — وهو المنطق نفسه الذي تقوم عليه الصيغة العامة المستخدمة هنا.
أخطاء شائعة
- استخدام n بدل (n − 1) في صيغة الحد النوني — فالحد الأول (n = 1) لا يحتاج إلى إضافة d ولو مرة واحدة، لأن aₙ = a₁ + (n − 1)d.
- الخلط بين أساس المتتالية الحسابية والأساس الضربي للمتتالية الهندسية — فالمتتالية الحسابية تضيف مقدارًا ثابتًا في كل خطوة، أما الهندسية فتضرب في عامل ثابت.
- الظن بأن صيغة المجموع تستلزم كتابة كل الحدود — فالصيغة المغلقة Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n − 1)d) تحسب المجموع مباشرة دون جمع الحدود واحدًا واحدًا.
- إدخال عدد حدود غير صحيح — يجب أن يكون n عددًا صحيحًا موجبًا يمثل ترتيب الحد (الأول، الثاني، الثالث، …)، لا كسرًا.
الأسئلة الشائعة
كيف نوجد الحد النوني لمتتالية حسابية؟
استخدم الصيغة aₙ = a₁ + (n − 1)d، حيث a₁ الحد الأول وd أساس المتتالية وn رتبة الحد المطلوب. فعندما a₁ = 3 وd = 4 وn = 10: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
كيف نحسب مجموع متتالية حسابية؟
استخدم الصيغة Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d)، فهي تجمع أول n من الحدود دون الحاجة إلى جمعها واحدًا تلو الآخر. فعندما a₁ = 3 وd = 4 وn = 10: S₁₀ = (10/2) × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
ما الفرق بين المتتالية الحسابية والمتتالية الهندسية؟
في المتتالية الحسابية يكون الفرق بين كل حدين متتاليين ثابتًا (كل حد = الحد السابق + d)، أما في المتتالية الهندسية فتكون النسبة بين كل حدين متتاليين ثابتة (كل حد = الحد السابق × r). ولذلك تنمو المتتالية الحسابية نموًا خطيًا، بينما تنمو المتتالية الهندسية أو تتقلص نموًا أسيًا متى كان مقدار النسبة مختلفًا عن 1.
هل يمكن أن يكون أساس المتتالية سالبًا أو صفرًا؟
نعم. الأساس السالب ينتج متتالية متناقصة (مثل 10, 7, 4, 1, −2 عندما d = −3). والأساس الصفري ينتج متتالية ثابتة تتساوى فيها جميع الحدود مع الحد الأول. وكلتاهما متتالية حسابية صحيحة.
كيف نوجد أساس المتتالية من حدين؟
اطرح أي حد من الحد الذي يليه مباشرة: d = aₙ₊₁ − aₙ. وإذا كنت تعرف حدين غير متتاليين فقط، aₘ وaₙ، فاستخدم d = (aₙ − aₘ) ÷ (n − m).
المراجع
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Arithmetic Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Weisstein EW. 'Arithmetic Series.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.