Приведённая стоимость аннуитета

Как интерпретировать результат приведённой стоимости

Ставка дисконтирования сильно определяет оценку. Таблица переоценивает поток $1 000/месяц за 20 лет из примера расчёта при разных ставках — более высокие ставки делают будущие деньги менее ценными сегодня.

Ставка дисконтирования	Приведённая стоимость $1 000/мес за 20 лет
3%	$180 311
5%	$151 525
7%	$128 983

Это моделирует обычный аннуитет (платежи в конце месяца); аннуитет пренумерандо (в начале месяца) стоит на коэффициент (1+r) больше — около 0,42% при 5%.
Платежи предполагаются фиксированными; оценка потока, индексированного по инфляции, требует реальной (с поправкой на инфляцию) ставки дисконтирования вместо номинальной.
Результат крайне чувствителен к ставке дисконтирования, которая является суждением об альтернативной доходности и риске — предложения по пенсии и урегулированию часто закладывают ставку менее благоприятную, чем альтернативы получателя.
Только образовательный расчёт; оценка фактического выкупа, урегулирования или покупки аннуитета включает налоги, кредитный риск и соображения продолжительности жизни за пределами этой формулы.

Что такое приведённая стоимость аннуитета?

Аннуитет в смысле временно́й стоимости денег — это любой поток равных платежей через регулярные интервалы: пенсионное пособие, платежи по кредиту, лизинговые платежи, структурированное судебное урегулирование или купоны облигаций. Его приведённая стоимость — это единственная сумма сегодня, финансово эквивалентная всему потоку, вычисляемая дисконтированием каждого платежа по выбранной ставке. Понятие является основным материалом учебных программ по корпоративным финансам и в материалах CFA Institute по количественным методам.

Дисконтирование отражает то, что деньги, доступные сейчас, могут заработать доход: платёж, поступающий через 20 лет, стоит сегодня гораздо меньше, чем поступающий в следующем месяце. Суммирование дисконтированных платежей даёт цифру значительно ниже простой суммы — в примере расчёта 240 ежемесячных платежей по $1 000 составляют $240 000 номинально, но при ставке дисконтирования 5% они стоят $151 525 сегодня. Разрыв $88 475 — это дисконт временно́й стоимости.

Этот расчёт является математической основой для ценообразования кредитов (основная сумма кредита — это приведённая стоимость его платежей), оценки предложений о выкупе пенсии, сравнения вариантов единовременной суммы лотереи против аннуитета и ценообразования инструментов с фиксированным доходом. Этот калькулятор моделирует обычный аннуитет — платежи в конце каждого месяца; поток, выплачивающий в начале каждого периода (аннуитет пренумерандо), стоит на месячные проценты больше.

Как пользоваться этим калькулятором приведённой стоимости аннуитета

Введите платёж, получаемый (или выплачиваемый) каждый месяц.
Введите годовую ставку дисконтирования — доходность, которую деньги могли бы заработать в сопоставимой альтернативе, или ставку, предлагаемую в оцениваемой сделке.
Введите, сколько лет продолжаются платежи.
Ознакомьтесь с приведённой стоимостью, недисконтированной суммой платежей и дисконтом между ними.
Пример расчёта: $1 000 в месяц в течение 20 лет при ставке дисконтирования 5% имеют приведённую стоимость $151 525,31 против $240 000 недисконтированных платежей — дисконт временно́й стоимости $88 474,69.

Формула приведённой стоимости аннуитета

PV = PMT × [1 − (1+r)^−n] ÷ r, где r = годовая ставка ÷ 12, n = месяцы

Итог платежей = PMT × n

Дисконт = PMT × n − PV

Каждый платёж дисконтируется на (1+r), возведённое в степень числа месяцев до его поступления; суммирование геометрического ряда даёт аннуитетный коэффициент в закрытой форме [1 − (1+r)^−n] ÷ r. Умножение платежа на этот коэффициент даёт приведённую стоимость обычного аннуитета (платежи в конце периода).

Та же формула лежит в основе математики кредитов в обратную сторону: кредитор, выдающий $151 525 под 5% на 20 лет, взимал бы почти ровно $1 000 в месяц. Дисконт временно́й стоимости — это недисконтированный итог минус приведённая стоимость — совокупные проценты, заложенные в потоке.

Частые ошибки

Сравнение предложения единовременной суммы с недисконтированным итогом платежей — $240 000 будущих платежей не стоят $240 000 сегодня; справедливое сравнение — с приведённой стоимостью.
Использование годовой формулы для ежемесячных платежей (или наоборот) — ставка и число периодов должны соответствовать периодичности платежей.
Игнорирование того, поступают ли платежи в начале или в конце каждого периода; аннуитеты пренумерандо стоят в (1+r) раз больше обычных аннуитетов.
Применение номинальной ставки дисконтирования к платежам, индексированным по инфляции, что недооценивает поток.
Отношение к ставке дисконтирования как к объективной — малые изменения сильно двигают оценку, и тот, кто устанавливает ставку в предложении, формирует результат.

Часто задаваемые вопросы

Какова приведённая стоимость $1 000 в месяц в течение 20 лет?

При годовой ставке дисконтирования 5% — $151 525,31 — по формуле PV = 1000 × [1 − (1 + 0,05/12)^−240] ÷ (0,05/12). 240 платежей составляют $240 000 номинально; разница $88 475 — это дисконт временно́й стоимости, отражающий, что большинство этих платежей поступают через годы в будущем. При ставке 3% поток стоит $180 311; при 7% — $128 983.

Какую ставку дисконтирования использовать для оценки аннуитета?

Доходность, доступную по сопоставимой альтернативе со схожим риском и длительностью. Для оценки безопасного потока платежей доходности казначейских ценных бумаг соответствующего срока являются распространённым ориентиром; для более рискованных потоков применяется более высокая ставка. Выбор сильно важен — оценка примера расчёта сдвигается примерно на $29 000 между 3% и 5% — поэтому предложения следует тестировать при нескольких ставках.

В чём разница между обычным аннуитетом и аннуитетом пренумерандо?

Обычный аннуитет выплачивает в конце каждого периода (большинство кредитов и облигаций); аннуитет пренумерандо выплачивает в начале (большинство аренд и многие страховые выплаты). Каждый платёж в аннуитете пренумерандо поступает на период раньше, поэтому его приведённая стоимость выше на коэффициент (1+r) — около 0,42% для ежемесячных платежей при годовой ставке 5%. Этот калькулятор моделирует обычную форму.

Как это используется для оценки выкупа пенсии или предложения об урегулировании?

Вычислите приведённую стоимость потока платежей, от которого отказываются, по ставке дисконтирования, отражающей ваши реалистичные альтернативы, и сравните её с предлагаемой единовременной суммой. Если единовременная сумма существенно ниже приведённой стоимости, предложение закладывает неблагоприятную ставку. Реальные решения также включают налоги, кредитный риск плательщика, защиту от инфляции и продолжительность жизни, поэтому приведённая стоимость — это отправная точка, а не весь анализ — и не финансовая консультация.

Почему приведённая стоимость намного меньше итога платежей?

Потому что у денег есть временна́я стоимость: платёж, поступающий в 19-й год, мог бы зарабатывать ставку дисконтирования 19 лет, если бы был получен сегодня, поэтому его приведённый эквивалент гораздо меньше. При 5% платёж $1 000, причитающийся через 20 лет, стоит сегодня только около $369. Суммирование 240 таких дисконтированных значений даёт $151 525, а не $240 000 — чем позже платёж, тем глубже его дисконт.

Источники

CFA Institute. Quantitative Methods — the time value of money. CFA Program Curriculum.
Ross SA, Westerfield RW, Jordan BD. Fundamentals of Corporate Finance. 13th ed. McGraw-Hill Education, 2021 — discounted cash flow valuation.
Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance. 13th ed. McGraw-Hill Education, 2020.
U.S. Securities and Exchange Commission (SEC). Investor.gov — annuities investor information. investor.gov.

⏮️ Калькулятор приведённой стоимости аннуитета