Будущая стоимость: во что вырастают регулярные взносы
Фаза накопления аннуитета -- это период, в течение которого фиксированные взносы вносятся на счёт и растут по определённой ставке доходности до целевой даты в будущем, например, до выхода на пенсию. Этот калькулятор моделирует обычный аннуитет -- каждый платёж происходит в конце каждого периода, что является стандартной практикой для большинства графиков пенсионных взносов, например по 401(k) или IRA через удержания из зарплаты.
Пример расчёта: взносы $500 в месяц под 7% годовых за 20 лет (240 месяцев) вырастают до будущей стоимости $260 463,33. Общая сумма взносов за этот период составляет $120 000 (240 платежей по $500), а значит, рост за счёт одной лишь доходности составляет $140 463,33 итогового баланса.
- Будущая стоимость FV = PMT × [((1 + r)^n − 1) ÷ r], где PMT = ежемесячный платёж, r = годовая ставка ÷ 12, n = число лет × 12
- Общие взносы = PMT × n; Рост = FV − общие взносы
Приведённая стоимость: сколько стоит сегодня будущий поток платежей
Приведённая стоимость отвечает на другой вопрос: сколько стоит сегодня поток равных будущих платежей -- пенсионное пособие, структурированное урегулирование, доход от аренды -- при заданной ставке дисконтирования, отражающей временную стоимость денег? Дисконтирование отражает тот факт, что доступные сейчас деньги могут приносить доход, поэтому платёж, поступающий через 20 лет, стоит сегодня гораздо меньше, чем платёж, поступающий в следующем месяце.
Пример расчёта: $1 000 в месяц за 20 лет при ставке дисконтирования 5% имеют приведённую стоимость $151 525,31 против $240 000 недисконтированных платежей -- дисконт по временной стоимости в $88 474,69. Та же формула лежит в основе математики кредитования, только в обратную сторону: кредитор, выдающий $151 525 под 5% на 20 лет, взимал бы почти ровно $1 000 в месяц.
| Ставка дисконтирования | Приведённая стоимость $1 000/мес за 20 лет |
|---|---|
| 3% | $180 311 |
| 5% | $151 525 |
| 7% | $128 983 |
Выплата: какой уровень дохода может обеспечить единовременная сумма
Расчёт выплаты определяет уровневый периодический платёж, который может обеспечить фиксированная начальная основная сумма за установленное число лет, построенный так, чтобы остаток был полностью исчерпан к концу периода, -- это обратная сторона расчёта накопления. Такую выплату иногда называют выплатой на определённый срок (period-certain), в отличие от пожизненного аннуитетного продукта, который продолжает выплаты до тех пор, пока жив получатель.
Пример расчёта: основная сумма $500 000 под 5% годовых за 25 лет (300 месяцев) обеспечивает уровневую ежемесячную выплату $2 922,95 -- годовую выплату $35 075,40 -- при общей сумме выплат $876 885,06 за весь период. Превышение над исходной суммой $500 000 представляет собой продолжающийся инвестиционный рост в период выплат, именно это позволяет выплате превышать простое деление основной суммы на число месяцев.
- Ежемесячная выплата PMT = P × r ÷ [1 − (1 + r)^−n], где P = основная сумма, r = годовая ставка ÷ 12, n = число лет × 12
Как эти три расчёта связаны между собой
Будущая стоимость, приведённая стоимость и выплата -- это три взгляда на одну и ту же математику аннуитета, применённые в разных направлениях: будущая стоимость проецирует взносы вперёд в единовременную сумму; приведённая стоимость дисконтирует будущий поток платежей обратно в сегодняшние доллары; а выплата превращает уже имеющуюся единовременную сумму в устойчивый поток дохода. Все три предполагают обычный аннуитет (платежи в конце периода) и постоянную ставку на весь период -- ни один из них не моделирует налоги, комиссии, поправки на инфляцию или специфичное для страховщика ценообразование с учётом смертности, характерное для коммерчески приобретённого пожизненного аннуитетного продукта.
Часто задаваемые вопросы
Во что вырастут $500 в месяц под 7% за 20 лет?
По формуле будущей стоимости обычного аннуитета $500 в месяц под 7% годовых за 20 лет (240 месяцев) вырастают до $260 463,33 -- $120 000 из взносов и $140 463,33 из роста.
Какова приведённая стоимость ежемесячного платежа в $1 000?
Это зависит от ставки дисконтирования и срока. $1 000 в месяц за 20 лет при ставке дисконтирования 5% стоят сегодня $151 525,31, против $240 000 недисконтированных -- дисконт по временной стоимости в $88 474,69.
Какой ежемесячный доход может обеспечить $500 000?
При предполагаемой доходности 5% годовых за 25 лет основная сумма $500 000 обеспечивает уровневую ежемесячную выплату $2 922,95, полностью исчерпывая основную сумму к концу периода.
В чём разница между обычным аннуитетом и аннуитетом с платежами в начале периода?
Обычный аннуитет предполагает, что платежи происходят в конце каждого периода; аннуитет с платежами в начале периода (annuity due) предполагает платежи в начале. Поскольку платежи annuity due капитализируются на один период дольше, они дают несколько более высокую будущую стоимость -- и несколько более высокую приведённую стоимость, примерно на 0,42% при ставке 5% годовых -- чем в остальном идентичный обычный аннуитет.
Моделирует ли это пожизненный аннуитет от страховой компании?
Нет. Это расчёты на определённый срок (period-certain) на основе фиксированной доходности, основной суммы и периода времени. Коммерчески приобретённый пожизненный аннуитет включает специфичные для страховщика комиссии, гарантии, штрафы за досрочное расторжение и ценообразование с учётом смертности, которые эти формулы не моделируют.
Источники
- U.S. Securities and Exchange Commission (SEC), Investor.gov — annuities overview and investor bulletins. https://www.investor.gov/
- Financial Industry Regulatory Authority (FINRA) — Annuities: how they work and what to consider. https://www.finra.org/
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance. 13th ed. McGraw-Hill Education, 2020 — annuity mathematics.