Знаки по четвертям и стандартные углы единичной окружности
Синус, косинус и тангенс имеют строго определённый знак в каждой из четырёх четвертей и принимают точные значения при стандартных опорных углах.
| Четверть | Диапазон углов | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°–90° | положительный | положительный | положительный |
| II | 90°–180° | положительный | отрицательный | отрицательный |
| III | 180°–270° | отрицательный | отрицательный | положительный |
| IV | 270°–360° | отрицательный | положительный | отрицательный |
- Опорный угол — это всегда острый угол (0°–90°) между конечной стороной и осью x; вместе со знаками, характерными для четверти, он позволяет получить точные тригонометрические значения любого угла из стандартных значений при 0°/30°/45°/60°/90°.
- Тангенс не определён при 90° и 270° (а также при котерминальных им углах), так как косинус в этих точках равен нулю.
- Углы больше 360° и отрицательные углы сначала приводятся к котерминальному углу в пределах [0°, 360°), и только затем определяются четверть и опорный угол.
Что такое единичная окружность?
Единичная окружность — это окружность радиуса 1 с центром в начале координатной плоскости. Для любого угла θ, отложенного против часовой стрелки от положительного направления оси x, точка пересечения конечной стороны угла с окружностью имеет координаты (cos θ, sin θ). Именно поэтому единичная окружность служит наглядной и вычислительной основой всех тригонометрических функций.
Поскольку радиус окружности равен ровно 1, значения синуса и косинуса читаются прямо как координаты, без всякого масштабирования. Калькулятор также показывает котерминальный угол (равносильный угол в пределах от 0° до 360°), четверть, в которую попадает конечная сторона, и опорный угол (угол до ближайшей оси x) — вместе они объясняют знак и величину тригонометрических значений.
Как пользоваться калькулятором единичной окружности
- Введите значение угла.
- Выберите единицу измерения угла: градусы или радианы.
- Считайте синус, косинус и тангенс угла, а также его четверть, опорный угол и котерминальный угол (равносильный угол в пределах одного оборота 0°–360°).
Формулы единичной окружности
Поскольку радиус единичной окружности равен 1, координаты точки (x, y) совпадают с (cos θ, sin θ) — в отличие от произвольной окружности, дополнительное умножение на радиус не требуется.
Типичные ошибки
- Оставленная единица «радианы» при вводе значения в градусах (или наоборот) — результат выглядит правдоподобно, но неверен.
- Предположение, что опорный угол совпадает с введённым углом для углов вне I четверти: опорный угол всегда отсчитывается от ближайшей оси x, а не от 0°.
- Ожидание числового значения тангенса при 90° или 270°, где тангенс не определён, поскольку косинус равен нулю.
- Забывают, что отрицательные углы и углы больше 360° равносильны котерминальному углу в пределах одного полного оборота (0°–360°).
Часто задаваемые вопросы
Чему равны sin и cos при 225 градусах?
При 225° sin(225°) = cos(225°) = −0,707107 (оба равны −√2/2). Это связано с тем, что 225° лежит в III четверти, где опорный угол равен 45° (225° − 180°), а синус и косинус отрицательны.
В какой четверти находится угол 225 градусов?
225° попадает в III четверть (180°–270°), где синус и косинус отрицательны, а тангенс положителен. Его опорный угол равен 225° − 180° = 45°.
Что такое опорный угол?
Опорный угол — это острый угол, всегда в пределах от 0° до 90°, образованный конечной стороной угла и осью x. Для угла 225° опорный угол равен 45°, поскольку 225° — это 45° после отметки 180°.
Что такое котерминальный угол?
Котерминальный угол — это угол с той же конечной стороной, приведённый к диапазону 0°–360° (то есть к одному полному обороту). Углу 585° соответствует котерминальный угол 585° − 360° = 225°, так как оба указывают на одну и ту же точку окружности.
Почему tan(90°) не определён на единичной окружности?
Тангенс равен sin θ / cos θ, а при 90° точка на единичной окружности имеет координаты (0, 1), то есть cos(90°) = 0. Деление на ноль не определено, поэтому при 90° тангенс не имеет значения (как и при 270°, где косинус тоже равен нулю).
Каковы точные значения sin и cos при 30°, 45° и 60°?
sin(30°) = 0,5 и cos(30°) ≈ 0,866025; sin(45°) = cos(45°) ≈ 0,707107; sin(60°) ≈ 0,866025 и cos(60°) = 0,5. Это самые часто запоминаемые значения единичной окружности, все они относятся к I четверти.
Источники
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).