Дуга, хорда и сектор при типичных углах
В таблице показано, как соотносятся длина дуги и длина хорды для окружности радиусом 10 при нескольких распространённых центральных углах.
| Центральный угол | Длина дуги (r=10) | Длина хорды (r=10) |
|---|---|---|
| 30° | 5,2360 | 5,1764 |
| 60° | 10,4720 | 10,0000 |
| 90° | 15,7080 | 14,1421 |
| 180° | 31,4159 | 20,0000 |
| 360° | 62,8319 (полная длина окружности) | 0 (начало = конец) |
- При 360° длина дуги совпадает с полной длиной окружности (2πr), а длина хорды равна нулю, поскольку начальная и конечная точки совпадают.
- При одном и том же угле длина дуги всегда больше длины хорды или равна ей: прямая — кратчайший путь между двумя точками, а дуга изгибается между ними.
- Площадь сегмента имеет смысл только для углов строго между 0° и 360°; ровно при 0° площади сектора и сегмента равны нулю.
Что такое длина дуги, длина хорды и площадь сектора?
Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя радиусами и центральным углом. Длина дуги — это расстояние вдоль этой кривой. Хорда — прямолинейный отрезок, соединяющий концы дуги; она всегда короче самой дуги, если только угол не стремится к нулю.
Сектор — область в форме кусочка пирога, ограниченная дугой и двумя радиусами; сегмент — меньшая область, ограниченная дугой и хордой (то есть сектор за вычетом треугольника, образованного двумя радиусами и хордой). Все четыре величины вычисляются непосредственно по радиусу и центральному углу.
Как пользоваться калькулятором длины дуги
- Введите радиус окружности.
- Введите центральный угол в градусах — от 0° до 360°.
- Посмотрите длину дуги, длину хорды, площадь сектора и площадь сегмента: они пересчитываются мгновенно.
Формулы длины дуги и площади сектора
Все формулы требуют центрального угла в радианах (θ = угол в градусах × π / 180); калькулятор выполняет этот перевод автоматически из введённого значения в градусах.
Частые ошибки
- Вводить угол в радианах, когда калькулятор ожидает градусы.
- Путать длину дуги (расстояние по кривой) с длиной хорды (расстояние по прямой): они совпадают только в пределе, когда угол стремится к нулю.
- Путать площадь сектора (ограниченного двумя радиусами и дугой) с площадью сегмента (ограниченного хордой и дугой) — сегмент всегда меньше.
- Задавать угол больше 360°: такому значению не соответствует один определённый сектор одной окружности.
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить длину дуги?
Длина дуги равна радиусу, умноженному на центральный угол в радианах: s = rθ. При радиусе 10 и угле 60° (θ = π/3 радиан) длина дуги составляет 10 × π/3 ≈ 10,4720 единицы.
Чем длина дуги отличается от длины хорды?
Длина дуги — расстояние между двумя точками вдоль кривой окружности, а длина хорды — расстояние между теми же точками по прямой. При радиусе 10 и угле 60° длина дуги составляет около 10,4720, а длина хорды равна ровно 10 (так как хорда = 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0,5 = 10).
Как найти площадь сектора?
Площадь сектора равна половине квадрата радиуса, умноженной на центральный угол в радианах: A = ½r²θ. При радиусе 10 и угле 60° площадь сектора составляет ½ × 100 × (π/3) ≈ 52,3599 квадратной единицы.
Что такое сегмент круга?
Сегмент — это область между хордой и отсекаемой ею дугой, то есть площадь сектора за вычетом площади треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. При радиусе 10 и угле 60° площадь сегмента составляет ½ × 100 × (π/3 − sin 60°) ≈ 9,0586 квадратной единицы.
Как перевести градусы в радианы для этих формул?
Умножьте угол в градусах на π/180. Например, 60° × π/180 = π/3 радиан ≈ 1,0472 радиана.
Чему равна длина дуги полной окружности?
При центральном угле 360° (2π радиан) длина дуги равна полной длине окружности, 2πr. При радиусе 10 это 2π × 10 ≈ 62,8319 единицы.
Источники
- Weisstein, Eric W. "Circular Arc", "Circular Sector" and "Circular Segment." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).