Координаты на единичной окружности: (cos theta, sin theta)
Единичная окружность -- это окружность радиусом ровно 1 с центром в начале координат (0,0) координатной плоскости. Для любого угла theta, отсчитываемого против часовой стрелки от положительной оси x, проведение линии из начала координат под этим углом и нахождение точки её пересечения с окружностью даёт точку, чья координата x равна cos(theta), а координата y равна sin(theta) -- напрямую, без какого-либо масштабирования, поскольку радиус окружности равен 1.
Это геометрическое определение лежит в основе каждого тригонометрического тождества: косинус по определению -- это координата x на единичной окружности для данного угла, а синус -- координата y. Тангенс получается напрямую как отношение этих двух величин: tan(theta) = sin(theta) / cos(theta), что геометрически представляет собой наклон линии от начала координат к этой точке на окружности.
Знаки по четвертям: где синус и косинус положительны или отрицательны
Координатная плоскость делится на четыре четверти осями x и y, и поскольку синус и косинус -- это просто координаты y и x точки на единичной окружности, их знаки в каждой четверти напрямую следуют из знака координат в этой четверти.
Эту закономерность иногда запоминают с помощью мнемоники «Все Студенты Точно Считают», указывающей, какие функции положительны в каждой четверти при движении против часовой стрелки от четверти I: в четверти I положительны все три функции, в четверти II -- только синус, в четверти III -- только тангенс, а в четверти IV -- только косинус.
| Четверть | Диапазон углов | sin theta | cos theta | tan theta |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°-90° | положителен | положителен | положителен |
| II | 90°-180° | положителен | отрицателен | отрицателен |
| III | 180°-270° | отрицателен | отрицателен | положителен |
| IV | 270°-360° | отрицателен | положителен | отрицателен |
Опорные углы: нахождение точных значений вне четверти I
Опорный угол -- это острый угол, всегда находящийся между 0 и 90 градусами, образованный между конечной стороной угла и ближайшей точкой оси x. Опорные углы позволяют найти точный синус, косинус или тангенс любого угла, сопоставляя его с одним из пяти стандартных углов четверти I, а затем применяя правильный знак для той четверти, в которой на самом деле находится исходный угол.
Например, угол 150 градусов находится в четверти II, и его опорный угол равен 180 - 150 = 30 градусов. Поскольку синус положителен в четверти II, sin(150 градусов) равен положительному sin(30 градусов) = 0,5. Косинус отрицателен в четверти II, поэтому cos(150 градусов) равен отрицательному cos(30 градусов), примерно -0,8660. Опорный угол даёт величину; четверть даёт знак.
Стандартная таблица для 0/30/45/60/90 градусов
Пять углов -- 0, 30, 45, 60 и 90 градусов, все в пределах четверти I -- имеют значения синуса и косинуса, выражаемые точными числами, а не длинными десятичными дробями, и они образуют основу для нахождения точных тригонометрических значений для любого другого стандартного угла с помощью опорных углов. В таблице ниже приведены как точная форма, так и десятичное приближение для каждого угла.
Обратите внимание на симметрию: значения синуса от 0 до 90 градусов (0, 1/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2, 1) -- это в точности значения косинуса в обратном порядке, что является прямым следствием того, что синус и косинус -- дополнительные (комплементарные) функции: sin(theta) = cos(90 градусов - theta) для любого угла theta.
| Угол | sin theta (точно) | sin theta (десятичное значение) | cos theta (точно) | cos theta (десятичное значение) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 30° | 1/2 | 0,5 | sqrt(3)/2 | 0,8660 |
| 45° | sqrt(2)/2 | 0,7071 | sqrt(2)/2 | 0,7071 |
| 60° | sqrt(3)/2 | 0,8660 | 1/2 | 0,5 |
| 90° | 1 | 1 | 0 | 0 |
Совпадающие по стороне углы и выход за пределы одного оборота
Углы больше 360 градусов, а также отрицательные углы, по-прежнему соответствуют конкретной точке на единичной окружности -- они просто оборачиваются вокруг окружности один или несколько дополнительных раз. Совпадающий по стороне (котерминальный) угол -- это эквивалентный угол в пределах одного оборота от 0 до 360 градусов, который находится путём прибавления или вычитания кратных 360 градусам значений до тех пор, пока результат не окажется в этом диапазоне.
Например, угол 405 градусов имеет совпадающий по стороне угол 405 - 360 = 45 градусов, а значит, оба угла указывают на абсолютно одну и ту же точку единичной окружности и потому имеют одинаковые значения синуса, косинуса и тангенса. Аналогично, угол -30 градусов имеет совпадающий по стороне угол -30 + 360 = 330 градусов, который находится в четверти IV.
Часто задаваемые вопросы
Каковы координаты точки на единичной окружности для заданного угла?
Для любого угла theta, отсчитываемого против часовой стрелки от положительной оси x, соответствующая точка на единичной окружности имеет координаты (cos theta, sin theta) в точности -- координата x всегда равна косинусу угла, а координата y всегда равна синусу угла, без какого-либо дополнительного масштабирования, поскольку радиус окружности равен 1.
Чему точно равен sin(60 градусов)?
sin(60 градусов) равен квадратному корню из 3, делённому на 2, -- точное значение, приблизительно равное 0,8660. Его дополнительная (комплементарная) функция, cos(60 градусов), равна точно 1/2 = 0,5, что согласуется с sin(60 градусов) = cos(90 градусов - 60 градусов) = cos(30 градусов).
Как найти опорный угол?
Опорный угол -- это острый угол между конечной стороной угла и ближайшей осью x. В четверти II вычтите угол из 180 градусов; в четверти III вычтите 180 градусов из угла; в четверти IV вычтите угол из 360 градусов. Для 150 градусов (четверть II) опорный угол равен 180 - 150 = 30 градусов.
Почему косинус отрицателен в четверти II?
Потому что косинус равен координате x точки на единичной окружности, а каждая точка в четверти II (углы между 90 и 180 градусами) имеет отрицательную координату x, находясь слева от оси y. Синус там остаётся положительным, поскольку точки четверти II по-прежнему имеют положительную координату y.
Что такое совпадающий по стороне (котерминальный) угол?
Совпадающий по стороне угол -- это угол, попадающий в ту же самую точку единичной окружности после уменьшения (или увеличения) на целое число полных оборотов по 360 градусов. Угол 405 градусов имеет совпадающий по стороне угол 405 - 360 = 45 градусов, поскольку оба описывают одно и то же положение на окружности и потому имеют одинаковые значения синуса, косинуса и тангенса.
Источники
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (unit circle definitions and the standard angle table).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (unit circle and reference angles).