Когда применять теорему синусов
Теорема синусов напрямую применима к двум случаям решения треугольника; остальные случаи требуют теоремы косинусов.
| Известные величины | Подходящий метод |
|---|---|
| Два угла + любая сторона (AAS или ASA) | Теорема синусов — однозначное, единственное решение |
| Две стороны + не заключённый между ними угол (SSA) | Теорема синусов, но нужно проверить неопределённый случай (возможны 0, 1 или 2 треугольника) |
| Три стороны (SSS) | Теорема косинусов |
| Две стороны + угол между ними (SAS) | Теорема косинусов |
- Режим ввода AAS/ASA этого калькулятора (два угла и одна сторона) всегда даёт ровно одно допустимое решение, поэтому неопределённый случай SSA здесь не возникает.
- Сумма трёх углов любого треугольника равна ровно 180°; если два введённых угла в сумме уже дают 180° или больше, допустимого треугольника не существует и калькулятор не выдаёт результата.
Что такое теорема синусов?
Теорема синусов гласит, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла одно и то же для всех трёх сторон: a / sin A = b / sin B = c / sin C. Благодаря этому можно найти неизвестную сторону или угол, как только известно достаточно данных.
Если заданы два угла и сторона, лежащая против одного из них (случай AAS или ASA, используемый здесь), треугольник определяется полностью и однозначно — в отличие от случая SSA (две стороны и угол, не заключённый между ними), который может давать два допустимых треугольника, один или ни одного; это так называемый неопределённый случай.
Как пользоваться калькулятором теоремы синусов
- Введите угол A и длину стороны a — стороны, лежащей против угла A.
- Введите угол B, второй известный угол.
- Калькулятор требует, чтобы сумма углов A и B была меньше 180°, поскольку третий угол (C) должен быть положительным.
- Считайте сторону b, угол C, сторону c и площадь треугольника — все они выводятся из теоремы синусов.
Формула теоремы синусов
Как только угол C найден из суммы углов (180° − A − B), отношение a / sin A из теоремы синусов позволяет найти обе оставшиеся стороны.
Типичные ошибки
- Ввод стороны a так, как будто она лежит против угла B, а не угла A: теорема синусов строго связывает каждую сторону с противолежащим ей углом.
- Ввод двух углов, дающих в сумме 180° или больше, из-за чего для третьего угла не остаётся места.
- Путаница между теоремой синусов (отношения сторон к синусам противолежащих углов) и теоремой косинусов (для случаев SAS и SSS).
- Забывают, что углы вводятся в градусах, а не в радианах.
Часто задаваемые вопросы
Какова формула теоремы синусов?
a / sin A = b / sin B = c / sin C, где каждая сторона соотносится с синусом непосредственно противолежащего ей угла.
Как найти неизвестную сторону по теореме синусов?
Составьте отношение с известной стороной и углом и выразите неизвестную сторону: b = (a × sin B) / sin A. При A = 30°, a = 10 и B = 45° сторона b = (10 × sin 45°) / sin 30° = (10 × 0,707107) / 0,5 ≈ 14,1421.
Чему равен третий угол, если A = 30° и B = 45°?
Так как сумма трёх углов треугольника равна 180°, угол C = 180° − 30° − 45° = 105°.
Что такое неопределённый случай в теореме синусов?
Неопределённый случай (SSA) возникает, когда известны две стороны и угол, не заключённый между ними: в зависимости от значений условию могут удовлетворять ноль, один или два различных треугольника. В режиме ввода AAS этого калькулятора он не возникает — решение всегда ровно одно.
Как найти площадь треугольника с помощью теоремы синусов?
Когда известны две стороны и угол между ними, площадь = ½ × сторона₁ × сторона₂ × sin(угол между ними). При a = 10, b ≈ 14,1421 и угле между ними C = 105° площадь = ½ × 10 × 14,1421 × sin(105°) ≈ 68,3013 квадратных единиц.
Когда использовать теорему синусов, а когда теорему косинусов?
Теорему синусов применяйте, когда известны два угла и любая сторона (AAS/ASA) либо две стороны и не заключённый между ними угол (SSA). Теорему косинусов применяйте, когда известны три стороны (SSS) или две стороны и угол между ними (SAS), поскольку теорема синусов эти случаи напрямую не решает.
Источники
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).