Теорема косинусов и теорема Пифагора
В таблице ниже показано, как ведёт себя теорема косинусов при изменении угла между сторонами; теорема Пифагора здесь — частный случай при 90°.
| Угол C | cos C | Влияние на c² |
|---|---|---|
| 90° (прямой угол) | 0 | c² = a² + b² (в точности теорема Пифагора) |
| < 90° (острый) | положительный | c² < a² + b² (c короче, чем в случае прямого угла) |
| > 90° (тупой) | отрицательный | c² > a² + b² (c длиннее, чем в случае прямого угла) |
- Теорема косинусов работает для любого треугольника, а не только для прямоугольного: это общий случай, а теорема Пифагора — его частный случай при 90°.
- Угол C должен быть строго между 0° и 180°: на любой из границ три точки оказываются на одной прямой и треугольника не существует.
Что такое теорема косинусов?
Теорема косинусов связывает три стороны треугольника с косинусом одного из его углов: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Она обобщает теорему Пифагора: когда угол C равен ровно 90°, cos C = 0 и формула превращается в c² = a² + b² — привычное соотношение Пифагора.
Если известны две стороны и заключённый между ними угол (случай SAS, используемый здесь), теорема косинусов сразу даёт третью сторону; та же формула, преобразованная относительно косинуса, позволяет затем найти два оставшихся угла.
Как пользоваться калькулятором теоремы косинусов
- Введите стороны a и b — две известные стороны.
- Введите угол C, заключённый между сторонами a и b, строго в пределах от 0° до 180°.
- Считайте сторону c (искомую сторону), углы A и B и площадь треугольника.
Формула теоремы косинусов
Одно и то же базовое соотношение преобразуется либо для нахождения стороны, либо — когда известны все три стороны — для нахождения угла.
Типичные ошибки
- Ввод угла, который на самом деле не заключён между сторонами a и b: для случая SAS теорема косинусов требует именно угла между ними.
- Потеря знака минус в c² = a² + b² − 2ab·cos C — его легко упустить, когда угол острый и cos C положителен.
- Использование теоремы косинусов для поиска стороны, когда известны лишь два угла и одна сторона: этот случай решается теоремой синусов.
- Ввод угла C в радианах вместо ожидаемых градусов.
Часто задаваемые вопросы
Какова формула теоремы косинусов?
c² = a² + b² − 2ab·cos C, где C — угол, заключённый между сторонами a и b, а c — сторона, лежащая против угла C.
Как найти неизвестную сторону по теореме косинусов?
После применения формулы извлеките квадратный корень: c = √(a² + b² − 2ab·cos C). При a = 5, b = 7 и C = 49° получаем c = √(25 + 49 − 2×5×7×cos 49°) ≈ √28,076 ≈ 5,2987.
Как найти угол по теореме косинусов?
Преобразуйте формулу относительно косинуса, а затем возьмите арккосинус: A = cos⁻¹((b² + c² − a²) / (2bc)). При a = 5, b = 7, c ≈ 5,2987 угол A ≈ 45,4117°.
Как теорема косинусов связана с теоремой Пифагора?
Когда заключённый угол C равен ровно 90°, cos C = 0, и теорема косинусов c² = a² + b² − 2ab·cos C в точности сводится к теореме Пифагора: c² = a² + b².
Когда применять теорему косинусов вместо теоремы синусов?
Теорему косинусов применяйте, когда известны три стороны (SSS) или две стороны и угол между ними (SAS): эти случаи теорема синусов напрямую не решает. Теорему синусов применяйте, когда известны два угла и сторона либо две стороны и не заключённый между ними угол.
Чему равна площадь треугольника со сторонами 5 и 7 и углом 49° между ними?
Площадь = ½ × a × b × sin C = ½ × 5 × 7 × sin(49°) ≈ 0,5 × 35 × 0,754710 ≈ 13,2074 квадратных единиц.
Источники
- Weisstein, Eric W. "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).