Значения для распространённых углов
В таблице ниже приведены точные значения синуса, косинуса и тангенса для наиболее часто используемых углов, выверенные до шести знаков после запятой.
| Угол | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0,5 | 0,866025 | 0,577350 |
| 45° | 0,707107 | 0,707107 | 1 |
| 60° | 0,866025 | 0,5 | 1,732051 |
| 90° | 1 | 0 | не определён |
- Тангенс не определён при 90° (и при каждом угле вида 90° + 180°k), потому что косинус там обращается в ноль и отношение sin/cos теряет смысл.
- Перепутанный режим «градусы/радианы» — самая частая ошибка в тригонометрии: одно и то же число 30 задаёт совершенно разные углы в градусах (30°) и в радианах (около 1719°).
- Для обратных функций ввод значения вне отрезка [−1, 1] в арксинус или арккосинус математически бессмыслен: ни у одного действительного угла синус или косинус не выходит за эти пределы.
Что такое тригонометрические функции?
Синус, косинус и тангенс связывают углы прямоугольного треугольника с отношениями длин его сторон: синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, а тангенс — противолежащего катета к прилежащему (что равносильно sin θ / cos θ). Обратные функции — арксинус, арккосинус и арктангенс — принимают на вход отношение и возвращают соответствующий угол.
Синус и косинус дополняют друг друга: sin(θ) = cos(90° − θ). Для функций sin, cos, asin и acos калькулятор выводит это значение ко-функции рядом с основным результатом, а для тангенса показывает котангенс, так что связь между родственными функциями видна сразу.
Как пользоваться тригонометрическим калькулятором
- Выберите функцию: sin, cos, tan или обратные к ним sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹.
- Выберите единицу измерения угла — градусы или радианы. Она относится и к вводимым углам для прямых функций, и к углу, который возвращают обратные функции.
- Введите значение: угол для sin/cos/tan либо отношение для обратных функций.
- Считайте результат и, где это применимо, значение связанной ко-функции.
Формулы тригонометрических отношений
Обратные функции asin и acos требуют, чтобы аргумент лежал в промежутке от −1 до 1 включительно, поскольку значения синуса и косинуса никогда не выходят за эти границы.
Типичные ошибки
- Оставлять калькулятор в неверном режиме единиц измерения угла (градусы вместо радианов и наоборот) — результат получается совершенно другим, хотя внешне выглядит вполне правдоподобно.
- Вводить в арксинус или арккосинус угол вместо отношения из промежутка от −1 до 1.
- Ожидать, что tan(90°) вернёт большое число, а не «не определён»: математически у тангенса там вертикальная асимптота.
- Путать функцию с обратной к ней — например, брать sin там, где требовался cos⁻¹.
Часто задаваемые вопросы
Чему равен sin(30°)?
sin(30°) = 0,5 ровно. Его ко-функция cos(30°) равна √3/2 ≈ 0,866025, что согласуется с равенством sin(30°) = cos(90° − 30°) = cos(60°).
Чему равен cos(45°)?
cos(45°) = √2/2 ≈ 0,707107, и это в точности совпадает с sin(45°), поскольку угол 45° дополняет сам себя (90° − 45° = 45°).
Почему tan(90°) не определён?
Тангенс — это синус, делённый на косинус, а cos(90°) = 0. Деление на ноль не определено, поэтому у tan(90°) нет конечного значения: в точке 90° и далее через каждые 180° у тангенса вертикальная асимптота.
Чем sin отличается от sin⁻¹?
Функция sin(θ) принимает угол и возвращает отношение в промежутке от −1 до 1. Обратная функция sin⁻¹(x), то есть арксинус, действует наоборот: она принимает отношение из промежутка от −1 до 1 и возвращает соответствующий угол.
Как перевести градусы в радианы и обратно?
Чтобы получить радианы, умножьте градусы на π/180; чтобы получить градусы, умножьте радианы на 180/π. Например, 60° × π/180 ≈ 1,0472 радиана.
Чему равен arcsin(0,5)?
arcsin(0,5) = 30° (или π/6 радиан), поскольку sin(30°) = 0,5. Калькулятор также показывает дополнительный угол ко-функции: arccos(0,5) = 60°, ведь 30° + 60° = 90°.
Источники
- Weisstein, Eric W. "Trigonometric Functions." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).