Две теоремы -- два разных набора известных величин
Любой треугольник, не являющийся прямоугольным, -- так называемый косоугольный треугольник -- можно полностью решить по трём известным величинам, но то, какая формула применима, зависит от того, какие именно три величины известны. Теорема синусов и теорема косинусов -- это два универсальных инструмента для этого, и каждый из них подходит для своего сочетания известных величин.
| Известные величины | Метод | Примечания |
|---|---|---|
| Два угла + любая сторона (AAS или ASA) | Теорема синусов | Всегда ровно одно решение |
| Две стороны + включённый угол (SAS) | Теорема косинусов | Всегда ровно одно решение |
| Три стороны (SSS) | Теорема косинусов | Всегда ровно одно решение (если выполнено неравенство треугольника) |
| Две стороны + не включённый угол (SSA) | Теорема синусов, с осторожностью | Возможны ноль, одно или два решения -- неоднозначный случай |
Теорема синусов: два угла и сторона (AAS/ASA)
Теорема синусов утверждает, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу угла, лежащего прямо напротив неё, одинаково для всех трёх сторон: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C). Зная два угла и любую одну сторону, третий угол находится сразу же из того, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, а два недостающих стороны находятся непосредственно из этого отношения.
Пример: угол A = 40 градусов, сторона a = 15 (противолежащая углу A), угол B = 60 градусов. Шаг 1: угол C = 180 - 40 - 60 = 80 градусов. Шаг 2: сторона b = (a x sin B) / sin A = (15 x sin 60 градусов) / sin 40 градусов = (15 x 0,8660) / 0,6428, примерно 20,2094. Шаг 3: сторона c = (a x sin C) / sin A = (15 x sin 80 градусов) / sin 40 градусов, примерно 22,9813. Площадь треугольника, вычисленная как 1/2 x a x b x sin C, составляет примерно 1/2 x 15 x 20,2094 x sin(80 градусов), примерно 149,2681 квадратных единиц.
Теорема косинусов: две стороны и включённый угол (SAS) или три стороны (SSS)
Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на треугольники без прямого угла: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C), где C -- угол, заключённый между сторонами a и b. Когда C в точности равен 90 градусам, cos(C) = 0, и формула точно сводится к теореме Пифагора, a^2 + b^2 = c^2.
Пример: стороны a = 8 и b = 11 с включённым углом C = 37 градусов. Шаг 1: c^2 = 8^2 + 11^2 - 2 x 8 x 11 x cos(37 градусов) = 64 + 121 - 176 x 0,7986, примерно 185 - 140,55 = 44,45, поэтому c примерно равно 6,6663. Шаг 2: как только известны все три стороны, остальные углы находятся из преобразованной формулы, cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc), что даёт угол A примерно 46,2375 градуса и угол B примерно 96,7625 градуса (в сумме с C = 37 градусов дают 180 градусов, как и должно быть). Площадь, 1/2 x a x b x sin(C), составляет примерно 1/2 x 8 x 11 x sin(37 градусов), примерно 26,4799 квадратных единиц.
Неоднозначный случай SSA -- честное объяснение
Когда известны две стороны и не включённый между ними угол (SSA) -- например, сторона a, сторона b и угол A, где A не является углом между a и b, -- теорему синусов всё ещё можно применить, но число допустимых треугольников, удовлетворяющих заданным величинам, не всегда равно одному. В зависимости от конкретных значений может существовать ноль треугольников (заданные угол и стороны вообще не могут образовать замкнутый треугольник), ровно один треугольник или ровно два различных треугольника, оба допустимых.
Определяющий фактор -- высота h = b x sin(A), сравниваемая со стороной a. Если a меньше h, треугольника не существует. Если a равно h, существует ровно один треугольник с прямым углом в вершине, противолежащей стороне a. Если h меньше a и a меньше b, существуют два различных треугольника. Если a больше или равно b, существует ровно один треугольник.
Пример неоднозначного случая: сторона a = 20, сторона b = 25, угол A = 40 градусов. Здесь h = 25 x sin(40 градусов), примерно 16,0697, и поскольку 16,0697 меньше 20, а 20 меньше 25, этим величинам удовлетворяют два различных треугольника. Решая оба: первый имеет угол B примерно 53,4641 градуса, угол C примерно 86,5359 градуса и сторону c примерно 31,0576; второй имеет угол B примерно 126,5359 градуса, угол C примерно 13,4641 градуса и сторону c примерно 7,2446. Оба треугольника используют одинаковые исходные значения a = 20, b = 25 и A = 40 градусов, но описывают две действительно разные фигуры -- именно поэтому случай SSA называют неоднозначным и именно поэтому он требует дополнительной проверки, которая не нужна для AAS, ASA и SAS.
Выбор правильной формулы на практике
В таких областях, как геодезия, навигация и инженерия, практическая рекомендация состоит в том, чтобы сначала определить, какие именно три величины действительно доступны, а не выбирать формулу по привычке. Если измерены два угла (что часто встречается при триангуляции с двух фиксированных точек наблюдения), теорема синусов применяется напрямую и однозначно. Если измерены два расстояния и угол между ними (что часто встречается, когда две стороны отложены от одной вершины), теорема косинусов применяется напрямую и однозначно.
Случай SSA встречается чаще, чем может показаться, -- например, при измерении одной известной стороны, второй стороны и угла, который физически не находится между ними, -- и поскольку он может незаметно дать два допустимых ответа, стоит явно выполнять сравнение a и h, описанное выше, всякий раз, когда SSA -- единственное доступное сочетание данных, вместо того чтобы предполагать, что первый вычисленный треугольник -- единственный, соответствующий данным.
Часто задаваемые вопросы
Когда следует использовать теорему синусов вместо теоремы косинусов?
Используйте теорему синусов, когда известны два угла и любая одна сторона (AAS или ASA), что всегда даёт ровно одно решение, либо когда известны две стороны и не включённый между ними угол (SSA), что требует проверки на неоднозначный случай. Используйте теорему косинусов, когда известны две стороны и включённый угол (SAS) либо все три стороны (SSS).
Что такое неоднозначный случай SSA?
SSA означает, что известны две стороны и не включённый между ними угол. В зависимости от конкретных значений это сочетание может дать ноль, одно или два допустимых треугольника, в отличие от AAS, ASA или SAS, которые всегда дают ровно один. Например, при a = 20, b = 25 и угле A = 40 градусов заданным величинам удовлетворяют два различных треугольника -- один с углом B примерно 53,4641 градуса, другой с углом B примерно 126,5359 градуса.
Как найти недостающую сторону с помощью теоремы косинусов?
Примените c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C), где C -- угол, заключённый между сторонами a и b, а затем извлеките квадратный корень. Для a = 8, b = 11 и C = 37 градусов: c^2 = 64 + 121 - 176 x cos(37 градусов), примерно 44,45, поэтому c примерно равно 6,6663.
Как найти недостающую сторону с помощью теоремы синусов?
Составьте отношение a / sin(A) = b / sin(B) и решите его относительно неизвестной стороны. Для угла A = 40 градусов, стороны a = 15 и угла B = 60 градусов: сторона b = (15 x sin 60 градусов) / sin 40 градусов, примерно 20,2094.
Может ли теорема косинусов решить треугольник только по трём сторонам (SSS)?
Да. Зная все три стороны, теорему косинусов можно преобразовать для нахождения каждого угла: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc). Теорему синусов нельзя использовать для начала решения задачи SSS, поскольку для составления её отношения требуется хотя бы один известный угол, а SSS его напрямую не даёт.
Источники
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (law of sines, law of cosines and the SSA ambiguous case).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (solving oblique triangles).