Распространённые пифагоровы тройки
Пифагорова тройка — это набор из трёх натуральных чисел, которые точно удовлетворяют равенству a² + b² = c². В таблице приведены наименьшие и наиболее употребительные тройки.
| Катет a | Катет b | Гипотенуза c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
- Любое кратное пифагоровой тройки тоже является пифагоровой тройкой — например, 6-8-10 и 9-12-15 получаются умножением тройки 3-4-5.
- Теорема Пифагора выполняется точно только для прямоугольных треугольников на плоскости (в евклидовой геометрии); к треугольникам на искривлённой поверхности, например на сфере, она неприменима.
Что такое теорема Пифагора?
Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (стороны, лежащей против прямого угла) равен сумме квадратов двух других сторон, которые называются катетами: a² + b² = c². Это одно из самых востребованных соотношений геометрии; его приписывают древнегреческому математику Пифагору, но независимо доказывали и в других древних математических традициях.
Теорема справедлива исключительно для прямоугольных треугольников — то есть тех, у которых ровно один угол равен 90°. С её помощью находят неизвестную сторону по двум известным; на ней же основаны формула расстояния между точками, тригонометрические тождества и множество практических измерительных задач в строительстве, навигации и инженерном деле.
Как пользоваться калькулятором теоремы Пифагора
- Выберите, что нужно найти: гипотенузу (по обоим катетам) или недостающий катет (по гипотенузе и одному катету).
- В режиме поиска гипотенузы введите катет a и катет b.
- В режиме недостающего катета введите известный катет (a) и гипотенузу (c); гипотенуза должна быть больше известного катета.
- Посмотрите неизвестную сторону, а также площадь и периметр треугольника, вычисленные по всем трём сторонам.
Формула теоремы Пифагора
Одно и то же базовое уравнение преобразуется по-разному в зависимости от того, какая сторона неизвестна.
Частые ошибки
- Применять формулу к треугольнику, который не является прямоугольным: теорема верна, только если один из углов равен ровно 90°.
- Подставлять гипотенузу в a² + b² = c² как катет вместо того, чтобы находить недостающий катет из равенства c² − a² = b².
- Вводить в режиме «недостающий катет» значение катета, равное гипотенузе или большее неё: для прямоугольного треугольника это геометрически невозможно.
- Забывать извлечь квадратный корень после сложения (или вычитания) квадратов — теорема сначала даёт значение в квадрате.
Часто задаваемые вопросы
Как выглядит формула теоремы Пифагора?
a² + b² = c², где a и b — катеты прямоугольного треугольника, а c — гипотенуза, то есть сторона, лежащая против прямого угла.
Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника?
Извлеките квадратный корень из суммы квадратов катетов: c = √(a² + b²). Для катетов 3 и 4 получаем c = √(9 + 16) = √25 = 5.
Как найти недостающий катет по теореме Пифагора?
Вычтите квадрат известного катета из квадрата гипотенузы и извлеките корень: b = √(c² − a²). При гипотенузе 5 и известном катете 3 получаем b = √(25 − 9) = √16 = 4.
Что такое пифагорова тройка?
Пифагорова тройка — это три натуральных числа a, b и c, которые точно удовлетворяют равенству a² + b² = c², например 3-4-5, 5-12-13 или 8-15-17.
Работает ли теорема Пифагора для любых треугольников?
Нет. Она применима только к прямоугольным треугольникам — тем, у которых ровно один угол равен 90°. Для треугольников без прямого угла используют теорему косинусов, которая является обобщением теоремы Пифагора.
Чему равна площадь прямоугольного треугольника 3-4-5?
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: A = ½ × a × b. Для катетов 3 и 4 площадь составляет ½ × 3 × 4 = 6 квадратных единиц, а периметр — 3 + 4 + 5 = 12 единиц.
Источники
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).