Формулы площади по фигурам
В таблице ниже собраны стандартные формулы и необходимые исходные данные для каждой поддерживаемой фигуры.
| Фигура | Формула площади | Необходимые данные |
|---|---|---|
| Круг | A = πr² | радиус r |
| Треугольник | A = ½ × основание × высота | основание, высота |
| Прямоугольник | A = основание × ширина | основание, ширина |
| Трапеция | A = ½ × (a + b) × высота | параллельные стороны a, b, высота |
| Параллелограмм | A = основание × высота | основание, высота |
| Эллипс | A = π × a × b | полуоси a, b |
| Правильный многоугольник | A = ns² ÷ (4 tan(π/n)) | число сторон n, длина стороны s |
| Круговой сектор | A = ½ r²θ | радиус r, угол θ |
- У эллипса нет точной формулы периметра в замкнутом виде — она требует эллиптического интеграла. Калькулятор использует вторую аппроксимацию Рамануджана: её погрешность не превышает примерно 0,02 % даже для сильно вытянутых эллипсов и значительно меньше для почти круговых.
- Площадь треугольника через основание и высоту (½ × основание × высота) точна лишь тогда, когда высота — это перпендикулярное расстояние от основания до противолежащей вершины, а не длина наклонной стороны.
- Для неправильного многоугольника или треугольника, у которого известны только три стороны, используйте формулу Герона — см. калькулятор треугольника.
- Формула правильного многоугольника предполагает, что все n сторон и внутренние углы равны; к неправильным многоугольникам она неприменима.
Что такое площадь?
Площадь — это величина двумерного пространства, ограниченного контуром фигуры; она измеряется в квадратных единицах (например, в квадратных метрах или квадратных футах). У каждой правильной фигуры есть формула, выражающая площадь через небольшое число измеряемых размеров — скажем, через радиус круга или основание и ширину прямоугольника.
Восемь фигур, охваченных здесь, — круг, треугольник, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, эллипс, правильный многоугольник и круговой сектор — покрывают то, с чем чаще всего сталкиваются в школьной геометрии, строительных расчётах и повседневных измерениях. Для каждой используется своя стандартная формула.
Как пользоваться калькулятором площади
- Выберите нужную фигуру в выпадающем списке.
- Введите размеры, которые запрашиваются для этой фигуры, — например, радиус для круга либо основание и высоту для треугольника или параллелограмма.
- Для трапеции введите обе параллельные стороны (a и b) и перпендикулярную высоту между ними.
- Для правильного многоугольника укажите количество сторон (n) и длину одной стороны (a); для сектора — радиус и центральный угол в градусах.
- Прочитайте площадь и дополнительный результат (периметр или длину дуги) — они пересчитываются мгновенно при изменении значений.
Формула площади для каждой фигуры
Для каждой фигуры применяется своя формула в замкнутом виде. Угол, введённый для кругового сектора, перед вычислением переводится из градусов в радианы, поскольку формула сектора определена в радианах.
Типичные ошибки
- Вводить длину наклонной стороны треугольника вместо перпендикулярной высоты — это завышает вычисленную площадь.
- Путать радиус и диаметр для круга или сектора: формула требует радиус, а не диаметр.
- Вводить для сектора угол в радианах, когда калькулятор ожидает градусы (0–360°).
- Подставлять для трапеции непараллельную сторону вместо одной из двух параллельных сторон a и b.
- Считать, что формула правильного многоугольника подходит для неправильных фигур с разными сторонами или углами.
Часто задаваемые вопросы
Как найти площадь круга?
Площадь круга равна π, умноженному на квадрат радиуса (A = πr²). У круга радиусом 5 площадь составляет π × 5² = π × 25 ≈ 78,5398 квадратных единиц.
Чему равна площадь треугольника?
Площадь треугольника равна половине произведения основания на перпендикулярную высоту (A = ½ × основание × высота). У треугольника с основанием 4 и высотой 3 площадь равна ½ × 4 × 3 = 6 квадратных единиц.
Как найти площадь трапеции?
Площадь трапеции равна полусумме двух параллельных сторон, умноженной на перпендикулярную высоту между ними: A = ½ × (a + b) × высота. При параллельных сторонах 3 и 5 и высоте 4 площадь равна ½ × (3 + 5) × 4 = 16 квадратных единиц.
Чему равна площадь правильного многоугольника?
Площадь правильного многоугольника равна n × s² ÷ (4 × tan(π/n)), где n — количество сторон, а s — длина стороны. У правильного шестиугольника (n = 6) со стороной 4 площадь составляет (6 × 4²) ÷ (4 × tan(30°)) ≈ 41,5692 квадратных единиц.
Как вычисляется площадь эллипса?
Площадь эллипса равна π, умноженному на две его полуоси: A = π × a × b, где a и b — длины большой и малой полуосей. У эллипса с полуосями 3 и 5 площадь равна π × 3 × 5 ≈ 47,1239 квадратных единиц.
Чему равна площадь кругового сектора?
Площадь сектора равна половине квадрата радиуса, умноженной на центральный угол в радианах: A = ½r²θ. У сектора радиусом 5 с центральным углом 60° (θ = π/3 радиан) площадь составляет ½ × 25 × (π/3) ≈ 13,0900 квадратных единиц.
Показывает ли калькулятор периметр помимо площади?
Да — для фигур, у которых периметр однозначно определяется по введённым данным (прямоугольник, эллипс, правильный многоугольник и сектор), калькулятор также выводит периметр, а для круга — длину окружности, для сектора — длину дуги.
Источники
- NIST Handbook 44 / NIST Guide to the SI — standard geometric unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Regular Polygon." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).