Формулы объёма и площади поверхности по телам
В таблице ниже сведены формулы объёма и площади поверхности, используемые для каждого тела.
| Тело | Формула объёма | Формула площади поверхности |
|---|---|---|
| Шар | V = (4/3)πr³ | SA = 4πr² |
| Куб | V = s³ | SA = 6s² |
| Прямоугольный параллелепипед | V = lwh | SA = 2(lw + lh + wh) |
| Цилиндр | V = πr²h | SA = 2πr² + 2πrh |
| Конус | V = (1/3)πr²h | SA = πr² + πr·slant |
| Четырёхугольная пирамида | V = (1/3)l²h | SA = l² + 2l·slant |
| Полушарие | V = (2/3)πr³ | SA = 3πr² |
| Усечённый конус | V = (1/3)πh(r₁²+r₁r₂+r₂²) | SA = π(r₁²+r₂²) + π(r₁+r₂)·slant |
- Для конуса, пирамиды и усечённого конуса в формуле площади поверхности используется образующая (или апофема боковой грани), которая вычисляется внутри калькулятора из радиуса либо ребра и высоты по теореме Пифагора: это не та же величина, что введённая вертикальная высота.
- «Площадь поверхности» здесь означает полную площадь поверхности, включая основание (основания), а не площадь боковой поверхности — для такой разбивки смотрите отдельный калькулятор площади поверхности.
- Все формулы предполагают прямые (не наклонные) тела: вершина или верхнее основание расположены точно над центром нижнего основания.
Что такое объём?
Объём — это величина трёхмерного пространства, заключённого внутри тела; он измеряется в кубических единицах (например, в кубических метрах или кубических футах). Для каждого правильного тела существует формула в замкнутом виде, связывающая объём с его определяющими размерами — радиусом шара или длиной, шириной и высотой параллелепипеда.
Площадь поверхности, которая здесь выводится рядом с объёмом для каждого тела, — это суммарная площадь всех внешних граней и криволинейных поверхностей. Она измеряется в квадратных единицах и вычисляется по отдельной формуле: объём и площадь описывают разные физические свойства и не заменяют друг друга.
Как пользоваться калькулятором объёма
- Выберите нужное тело в выпадающем списке.
- Введите запрашиваемые размеры — например, радиус для шара либо длину, ширину и высоту для параллелепипеда.
- Для усечённого конуса введите нижний радиус, верхний радиус (radius2) и перпендикулярную высоту между двумя круглыми основаниями.
- Для четырёхугольной пирамиды введите длину ребра основания в поле «длина» и перпендикулярную высоту от основания до вершины.
- Считайте объём и площадь поверхности — они пересчитываются мгновенно при изменении любого размера.
Формула объёма для каждого тела
Формула объёма каждого тела выводится средствами математического анализа (интегрированием площади поперечного сечения вдоль высоты или радиуса), но для этих стандартных фигур сводится к простому выражению в замкнутом виде.
Типичные ошибки
- Ввод диаметра вместо радиуса: для шара и полушария объём завышается в 8 раз, а для цилиндра и конуса — в 4 раза, поскольку их объём зависит от r², а не от r³.
- Путаница между длиной ребра куба и независимыми длиной, шириной и высотой параллелепипеда.
- Ввод для усечённого конуса верхнего радиуса (radius2) большим, чем нижний, без понимания того, какое основание какое: формула симметрична, но подписи задают ориентацию.
- Смешение единиц измерения — например, высота в футах, а радиус в дюймах — приводит к неверному результату.
- Предположение, что объём и площадь поверхности растут одинаково: при удвоении радиуса шара объём увеличивается в 8 раз, а площадь поверхности — только в 4 раза.
Часто задаваемые вопросы
Как найти объём шара?
Объём шара равен (4/3) × π × радиус³. У шара радиусом 3 объём составляет (4/3) × π × 27 ≈ 113,0973 кубической единицы.
Чему равен объём цилиндра?
Объём цилиндра равен π × радиус² × высота. У цилиндра радиусом 3 и высотой 5 объём составляет π × 9 × 5 ≈ 141,3717 кубической единицы.
Как вычислить объём конуса?
Объём конуса равен одной трети от π × радиус² × высота. У конуса радиусом 3 и высотой 5 объём составляет (1/3) × π × 9 × 5 ≈ 47,1239 кубической единицы — ровно треть объёма цилиндра с теми же радиусом и высотой.
Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда?
Объём параллелепипеда равен длина × ширина × высота. У параллелепипеда размерами 4 × 3 × 5 объём составляет 4 × 3 × 5 = 60 кубических единиц.
Как найти объём усечённого конуса?
Объём усечённого конуса равен (1/3) × π × высота × (r₁² + r₁r₂ + r₂²), где r₁ и r₂ — радиусы двух круглых оснований. У усечённого конуса с нижним радиусом 3, верхним радиусом 2 и высотой 5 объём составляет (1/3) × π × 5 × (9 + 6 + 4) ≈ 99,4838 кубической единицы.
Почему калькулятор показывает ещё и площадь поверхности?
Объём и площадь поверхности — две стандартные характеристики тела, которые часто нужны вместе: объём определяет вместимость, а площадь поверхности — расход материала или покрытия. Поэтому обе величины вычисляются по одним и тем же введённым размерам.
Чем формула для шара отличается от формулы для полушария?
По объёму полушарие — это ровно половина шара: V = (2/3)πr³ против (4/3)πr³ для полного шара. А вот площадь поверхности не равна половине площади шара, потому что включает ещё и плоское круглое основание: SA = 3πr² (2πr² криволинейной части плюс πr² плоского круга) против 4πr² у полного шара.
Источники
- NIST Guide to the SI — cubic unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Conical Frustum." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard solid-geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).