変換結果を読み解く
よく使われる有限小数は、覚えておく価値のある簡単な分数に対応しています。下の表は、よく使われる対応関係を示しています。
| 小数 | 分数 | パーセント |
|---|---|---|
| 0.5 | 1/2 | 50% |
| 0.25 | 1/4 | 25% |
| 0.75 | 3/4 | 75% |
| 0.2 | 1/5 | 20% |
| 0.125 | 1/8 | 12.5% |
| 0.625 | 5/8 | 62.5% |
| 0.0625 | 1/16 | 6.25% |
- 小数が有限で終わるのは、既約分数にしたときの分母の素因数が2と5だけである場合に限られます。だからこそ1/3、1/6、1/7は循環小数になります。
- 循環小数は正確には入力できません。0.333333は333333/1000000に変換されるのであって、1/3にはなりません。循環小数には代数的な方法（x = 0.333...とおき、10x - x = 3よりx = 1/3）を用いてください。
- この計算機は小数点以下9桁までを受け付けます。それを超えると、浮動小数点表現の限界により正確な変換ができなくなります。
小数から分数への変換とは
有限小数とは、0.625や0.32のように、桁数が有限で終わる数のことです。すべての有限小数は、分母が10の累乗である分数として正確に表せます。小数点以下の数字が分子となり、分母は10を小数点以下の桁数だけ累乗したものです。0.625は小数点以下3桁なので、625/1000に等しくなります。
得られた分数は、分子と分母を最大公約数（GCD）で割ることで既約分数に約分されます。625/1000の場合、最大公約数は125であり、5/8となります。整数どうしの分数は有理数と呼ばれ、すべての有限小数は有理数です。
0.333...（正確には1/3に等しい）のような循環小数もまた有理数を表しますが、これには別の代数的手法が必要で、有限小数として正確に入力することはできません。0.333333と入力すると、その正確な6桁の小数（333333/1000000）に変換されるのであって、1/3にはなりません。この計算機は、小数点以下9桁までの有限小数に対応しています。
この小数→分数計算機の使い方
- 変換したい小数の値を入力します。たとえば0.625や2.5です。負の小数にも対応しています。
- 約分された分数を確認します。負の入力の場合、符号は分子に付きます。
- パーセント表示を確認します。これは小数に100を掛けた値です。
- 手計算で検算するには、小数点以下の数字を対応する10の累乗の上に置き、両方を最大公約数で割ります。
位取りによる変換方法
小数点以下の桁数（これをkとする）を数えます。小数に10^kを掛けて整数の分子を得て、10^kを分母とします。次に、両方を最大公約数で割って既約分数にします。
計算例：0.625。小数点以下の桁数はk = 3なので、0.625 = 625/1000です。625と1000の最大公約数は125です。両方を割ると、625/125 = 5、1000/125 = 8となり、0.625 = 5/8です。パーセントでは0.625 x 100 = 62.5%です。
もう一つの例：0.32 = 32/100。32と100の最大公約数は4なので、0.32 = 8/25 = 32%です。
1より大きい小数も同じ方法で変換できます：2.5 = 25/10 = 5/2であり、これは帯分数2 1/2としても書けます。
よくある間違い
- 0.33や0.333333が1/3に変換されると思い込む——1/3に等しいのは無限に循環する0.333...だけであり、有限の入力はそれぞれ異なる正確な分数に変換されます。
- 誤った10の累乗を使う——0.625は625/1000（小数点以下3桁）であり、625/100ではありません。
- 約分を忘れる——625/1000と5/8は等しい値ですが、慣習として既約分数が正しい答えです。
- 負の小数で符号を落としてしまう——負の符号は、結果として得られる分数の分子に付きます。
よくある質問
小数を分数に変換するにはどうすればよいですか。
小数点以下の数字を、小数点以下の桁数だけ10を累乗した数を分母とする分子として書き、最大公約数で約分します。たとえば0.625 = 625/1000であり、625と1000の最大公約数は125なので、0.625 = 5/8です。
0.625を分数にするといくつですか。
0.625は5/8に等しくなります。変換の手順：0.625は小数点以下3桁なので625/1000に等しく、分子と分母を最大公約数125で割ると5/8になります。パーセントでは0.625は62.5%です。
すべての小数は分数として書けますか。
すべての有限小数と、すべての循環小数は、整数どうしの分数として正確に書くことができます——これらが有理数です。円周率（3.14159...）や2の平方根のような無理数は、有限でも循環でもない小数展開を持ち、いかなる整数の分数としても正確には書けません。
0.333...のような循環小数はどうやって分数に変換しますか。
位取りの方法ではなく代数を使います。x = 0.333...とおくと、10倍して10x = 3.333...となります。最初の式を引くと9x = 3となり、x = 3/9 = 1/3です。0.333333のような有限の入力は別の数であり、333333/1000000に変換されます。
1より大きい小数はどう変換しますか。
同じ位取りの方法が使えます。たとえば2.5 = 25/10であり、最大公約数5で割ると5/2になります。仮分数5/2は帯分数2 1/2としても書け、どちらも同じ値を表します。
参考文献
- Weisstein, Eric W. "Decimal Expansion." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Rational Number." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Niven I. Numbers: Rational and Irrational. Mathematical Association of America, 1961.