Aturan cosinus vs. teorema Pythagoras
Tabel di bawah ini menunjukkan bagaimana aturan cosinus berperilaku seiring perubahan sudut yang diapit, dengan menggunakan teorema Pythagoras sebagai kasus khusus pada 90°.
| Sudut C | cos C | Efek pada c² |
|---|---|---|
| 90° (sudut siku-siku) | 0 | c² = a² + b² (teorema Pythagoras persis) |
| < 90° (lancip) | positif | c² < a² + b² (c lebih pendek daripada kasus sudut siku-siku) |
| > 90° (tumpul) | negatif | c² > a² + b² (c lebih panjang daripada kasus sudut siku-siku) |
- Aturan cosinus berlaku untuk segitiga mana pun, tidak hanya segitiga siku-siku — ini adalah kasus umum, dengan teorema Pythagoras sebagai kasus khususnya pada 90°.
- Sudut C harus secara ketat berada di antara 0° dan 180°; pada salah satu batas tersebut, ketiga titik menjadi segaris dan tidak ada segitiga yang terbentuk.
Apa itu aturan cosinus?
Aturan cosinus menghubungkan ketiga sisi segitiga dengan cosinus salah satu sudutnya: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Aturan ini menggeneralisasi teorema Pythagoras — ketika sudut C tepat 90°, cos C = 0 dan rumus tersebut tereduksi menjadi c² = a² + b², hubungan Pythagoras yang sudah dikenal.
Jika diketahui dua sisi dan sudut yang diapit di antara keduanya (kasus SAS yang digunakan di sini), aturan cosinus langsung mencari sisi ketiga; rumus yang sama, setelah disusun ulang, kemudian mendapatkan kedua sudut yang tersisa.
Cara menggunakan kalkulator aturan cosinus ini
- Masukkan sisi a dan sisi b, kedua sisi yang diketahui.
- Masukkan sudut C, sudut yang diapit di antara sisi a dan b, secara ketat antara 0° dan 180°.
- Lihat sisi c (sisi yang belum diketahui), sudut A dan B, serta luas segitiga.
Rumus aturan cosinus
Hubungan dasar yang sama disusun ulang untuk menyelesaikan sisi atau, setelah ketiga sisi diketahui, untuk sudut.
Kesalahan umum
- Memasukkan sudut yang sebenarnya tidak diapit oleh sisi a dan b — aturan cosinus memerlukan sudut yang diapit untuk kasus SAS.
- Lupa tanda minus pada c² = a² + b² − 2ab·cos C, yang mudah terlewat ketika sudutnya lancip dan cos C bernilai positif.
- Menggunakan aturan cosinus untuk mencari sisi yang belum diketahui padahal hanya dua sudut dan satu sisi yang diketahui — kasus tersebut memerlukan aturan sinus.
- Memasukkan sudut C dalam radian, bukan derajat seperti yang diharapkan.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa rumus aturan cosinus?
c² = a² + b² − 2ab·cos C, dengan C adalah sudut yang diapit di antara sisi a dan b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut C.
Bagaimana cara mencari sisi yang belum diketahui menggunakan aturan cosinus?
Ambil akar kuadrat setelah menerapkan rumus: c = √(a² + b² − 2ab·cos C). Untuk a = 5, b = 7, dan C = 49°, c = √(25 + 49 − 2×5×7×cos 49°) ≈ √28,076 ≈ 5,2987.
Bagaimana cara mencari sudut menggunakan aturan cosinus?
Susun ulang rumus untuk menyelesaikan cosinus, lalu ambil invers cosinusnya: A = cos⁻¹((b² + c² − a²) / (2bc)). Untuk a = 5, b = 7, c ≈ 5,2987, sudut A ≈ 45,4117°.
Bagaimana hubungan aturan cosinus dengan teorema Pythagoras?
Ketika sudut yang diapit C sama dengan tepat 90°, cos C = 0, dan aturan cosinus c² = a² + b² − 2ab·cos C tereduksi persis menjadi teorema Pythagoras, c² = a² + b².
Kapan Anda menggunakan aturan cosinus alih-alih aturan sinus?
Gunakan aturan cosinus jika Anda mengetahui tiga sisi (SSS) atau dua sisi dan sudut yang diapit (SAS) — kasus yang tidak dapat diselesaikan langsung oleh aturan sinus. Gunakan aturan sinus jika Anda mengetahui dua sudut dan satu sisi, atau dua sisi dan sudut yang tidak diapit.
Berapa luas segitiga dengan sisi 5, 7, dan sudut yang diapit 49°?
Luas = ½ × a × b × sin C = ½ × 5 × 7 × sin(49°) ≈ 0,5 × 35 × 0,754710 ≈ 13,2074 satuan persegi.
Referensi
- Weisstein, Eric W. "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).