Tanda kuadran dan sudut lingkaran satuan standar
Sinus, cosinus, dan tangen masing-masing memiliki pola tanda tetap pada setiap empat kuadran, dan bernilai eksak pada sudut referensi standar di bawah ini.
| Kuadran | Rentang sudut | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°–90° | positif | positif | positif |
| II | 90°–180° | positif | negatif | negatif |
| III | 180°–270° | negatif | negatif | positif |
| IV | 270°–360° | negatif | positif | negatif |
- Sudut referensi selalu merupakan sudut lancip (0°–90°) antara sisi terminal dan sumbu-x; sudut ini digunakan bersama pola tanda kuadran untuk mencari nilai trigonometri eksak untuk sudut mana pun dari nilai standar 0°/30°/45°/60°/90°.
- Tangen tidak terdefinisi pada 90° dan 270° (dan sudut koterminal yang setara), karena cosinus bernilai nol pada sudut-sudut tersebut.
- Sudut yang lebih besar dari 360° atau sudut negatif terlebih dahulu direduksi menjadi sudut koterminal dalam rentang [0°, 360°) sebelum kuadran dan sudut referensi ditentukan.
Apa itu lingkaran satuan?
Lingkaran satuan adalah lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di titik asal bidang koordinat. Untuk sudut θ mana pun yang diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu-x positif, titik tempat sisi terminal sudut tersebut memotong lingkaran memiliki koordinat (cos θ, sin θ) — menjadikan lingkaran satuan sebagai dasar visual dan komputasi untuk semua fungsi trigonometri.
Karena jari-jari lingkaran ini tepat 1, nilai sinus dan cosinus dapat langsung dibaca sebagai koordinat tanpa penskalaan apa pun. Kalkulator ini juga melaporkan sudut koterminal (sudut ekuivalen antara 0° dan 360°), kuadran tempat sisi terminal berada, dan sudut referensi (sudut lancip ke sumbu-x terdekat), yang bersama-sama menjelaskan tanda dan besaran nilai trigonometri.
Cara menggunakan kalkulator lingkaran satuan ini
- Masukkan nilai sudut.
- Pilih satuan sudut: derajat atau radian.
- Lihat sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut tersebut, beserta kuadran, sudut referensi, dan sudut koterminalnya (sudut ekuivalen dalam satu putaran penuh 0°–360°).
Rumus lingkaran satuan
Karena lingkaran satuan memiliki jari-jari 1, koordinat (x, y) suatu titik identik dengan (cos θ, sin θ) — tidak diperlukan penskalaan tambahan dengan jari-jari, berbeda dengan lingkaran umum.
Kesalahan umum
- Membiarkan satuan sudut tetap pada radian saat memasukkan nilai derajat, atau sebaliknya, yang menghasilkan hasil yang tampak valid tetapi salah.
- Menganggap sudut referensi sama dengan sudut input untuk sudut di luar Kuadran I — sudut referensi selalu diukur dari sumbu-x terdekat, bukan dari 0°.
- Mengharapkan nilai tangen numerik pada 90° atau 270°, padahal tangen tidak terdefinisi karena cosinus bernilai nol.
- Lupa bahwa sudut negatif dan sudut lebih dari 360° setara dengan sudut koterminal dalam satu putaran penuh (0°–360°).
Pertanyaan yang sering diajukan
Berapa sin dan cos pada 225 derajat?
Pada 225°, sin(225°) = cos(225°) = −0,707107 (keduanya sama dengan −√2/2). Hal ini karena 225° berada di Kuadran III, tempat sudut referensinya adalah 45° (225° − 180°) dan sinus maupun cosinus keduanya negatif.
225 derajat berada di kuadran mana?
225° berada di Kuadran III (180°–270°), tempat sinus dan cosinus keduanya negatif dan tangen positif. Sudut referensinya adalah 225° − 180° = 45°.
Apa itu sudut referensi?
Sudut referensi adalah sudut lancip, selalu antara 0° dan 90°, yang dibentuk antara sisi terminal suatu sudut dan sumbu-x. Untuk sudut 225°, sudut referensinya adalah 45°, karena 225° adalah 45° melewati tanda 180°.
Apa itu sudut koterminal?
Sudut koterminal adalah sudut yang memiliki sisi terminal yang sama setelah direduksi ke rentang 0°–360° (atau satu putaran penuh). Sudut 585° memiliki sudut koterminal 585° − 360° = 225°, karena keduanya menunjuk ke posisi yang sama pada lingkaran.
Mengapa tan(90°) tidak terdefinisi pada lingkaran satuan?
Tangen sama dengan sin θ / cos θ, dan pada 90° titik pada lingkaran satuan adalah (0, 1), yang berarti cos(90°) = 0. Pembagian dengan nol tidak terdefinisi, sehingga tangen tidak memiliki nilai pada 90° (dan pada 270°, tempat cosinus juga bernilai nol).
Berapa nilai eksak sin dan cos pada 30°, 45°, dan 60°?
sin(30°) = 0,5 dan cos(30°) ≈ 0,866025; sin(45°) = cos(45°) ≈ 0,707107; sin(60°) ≈ 0,866025 dan cos(60°) = 0,5. Ini adalah nilai lingkaran satuan yang paling sering dihafalkan, semuanya di Kuadran I.
Referensi
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).