Dua aturan, dua kumpulan data yang berbeda
Setiap segitiga yang bukan siku-siku -- disebut segitiga sembarang -- dapat diselesaikan sepenuhnya dari tiga besaran yang diketahui, tetapi rumus mana yang berlaku bergantung pada tiga besaran mana yang tersedia. Aturan sinus dan aturan kosinus adalah dua perkakas serba guna untuk keperluan itu, dan masing-masing cocok bagi kombinasi data yang berbeda.
| Data yang diketahui | Metode | Catatan |
|---|---|---|
| Dua sudut + sembarang sisi (AAS atau ASA) | Aturan sinus | Selalu tepat satu solusi |
| Dua sisi + sudut apitnya (SAS) | Aturan kosinus | Selalu tepat satu solusi |
| Ketiga sisi (SSS) | Aturan kosinus | Selalu tepat satu solusi (bila ketaksamaan segitiga terpenuhi) |
| Dua sisi + sudut bukan apit (SSA) | Aturan sinus, dengan kehati-hatian | Bisa nol, satu, atau dua solusi -- kasus ambigu |
Aturan sinus: dua sudut dan satu sisi (AAS/ASA)
Aturan sinus menyatakan bahwa pada segitiga mana pun, perbandingan panjang sebuah sisi terhadap sinus sudut yang tepat berhadapan dengannya bernilai sama untuk ketiga sisinya: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C). Bila dua sudut dan satu sisi diketahui, sudut ketiga langsung diperoleh dari kenyataan bahwa jumlah sudut segitiga adalah 180 derajat, sedangkan kedua sisi yang belum diketahui menyusul langsung dari perbandingan tersebut.
Contoh soal: sudut A = 40 derajat, sisi a = 15 (berhadapan dengan sudut A), dan sudut B = 60 derajat. Langkah 1: sudut C = 180 - 40 - 60 = 80 derajat. Langkah 2: sisi b = (a x sin B) / sin A = (15 x sin 60 derajat) / sin 40 derajat = (15 x 0,8660) / 0,6428, kira-kira 20,2094. Langkah 3: sisi c = (a x sin C) / sin A = (15 x sin 80 derajat) / sin 40 derajat, kira-kira 22,9813. Luas segitiganya, dengan 1/2 x a x b x sin C, kira-kira 1/2 x 15 x 20,2094 x sin(80 derajat), yaitu sekitar 149,2681 satuan persegi.
Aturan kosinus: dua sisi dan sudut apitnya (SAS), atau ketiga sisi (SSS)
Aturan kosinus memperumum teorema Pythagoras ke segitiga tanpa sudut siku-siku: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C), dengan C sebagai sudut yang terapit di antara sisi a dan b. Ketika C tepat 90 derajat, cos(C) = 0 sehingga rumus itu menyusut persis menjadi teorema Pythagoras, a^2 + b^2 = c^2.
Contoh soal: sisi a = 8 dan b = 11, dengan sudut apit C = 37 derajat. Langkah 1: c^2 = 8^2 + 11^2 - 2 x 8 x 11 x cos(37 derajat) = 64 + 121 - 176 x 0,7986, kira-kira 185 - 140,55 = 44,45, sehingga c kira-kira 6,6663. Langkah 2: begitu ketiga sisi diketahui, sudut-sudut sisanya menyusul dari rumus yang disusun ulang, cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc), sehingga sudut A kira-kira 46,2375 derajat dan sudut B kira-kira 96,7625 derajat (yang bersama C = 37 derajat berjumlah 180 derajat, sebagaimana seharusnya). Luasnya, 1/2 x a x b x sin(C), kira-kira 1/2 x 8 x 11 x sin(37 derajat), yaitu sekitar 26,4799 satuan persegi.
Kasus ambigu SSA, dijelaskan apa adanya
Ketika dua sisi dan sebuah sudut bukan apit yang diketahui (SSA) -- misalnya sisi a, sisi b, dan sudut A, dengan A bukan sudut di antara a dan b -- aturan sinus tetap bisa diterapkan, tetapi banyaknya segitiga sah yang memenuhi data itu tidak selalu satu. Bergantung pada nilai yang diberikan, bisa jadi tidak ada segitiga sama sekali (sudut dan sisi yang diberikan tidak mungkin menutup menjadi segitiga), tepat satu segitiga, atau tepat dua segitiga berbeda yang sama-sama sah.
Penentunya adalah tinggi h = b x sin(A), yang dibandingkan terhadap sisi a. Bila a kurang dari h, tidak ada segitiga yang terbentuk. Bila a sama dengan h, terbentuk tepat satu segitiga, dengan sudut siku-siku di titik sudut yang berhadapan dengan sisi a. Bila h kurang dari a dan a kurang dari b, terbentuk dua segitiga yang berbeda. Bila a lebih besar dari atau sama dengan b, terbentuk tepat satu segitiga.
Contoh soal kasus ambigu: sisi a = 20, sisi b = 25, sudut A = 40 derajat. Di sini h = 25 x sin(40 derajat), kira-kira 16,0697, dan karena 16,0697 kurang dari 20 sedangkan 20 kurang dari 25, ada dua segitiga berbeda yang memenuhi data tersebut. Kedua-duanya bila diselesaikan: yang pertama memiliki sudut B kira-kira 53,4641 derajat, sudut C kira-kira 86,5359 derajat, dan sisi c kira-kira 31,0576; sedangkan yang kedua memiliki sudut B kira-kira 126,5359 derajat, sudut C kira-kira 13,4641 derajat, dan sisi c kira-kira 7,2446. Kedua segitiga itu berangkat dari nilai awal yang identik, a = 20, b = 25, dan A = 40 derajat, namun menggambarkan dua bentuk yang benar-benar berlainan -- justru itulah sebabnya kasus SSA disebut ambigu, dan sebabnya pula ia menuntut pemeriksaan tambahan yang tidak diperlukan oleh AAS, ASA, maupun SAS.
Memilih rumus yang tepat dalam praktik
Dalam bidang seperti pengukuran tanah, navigasi, dan teknik, panduan praktisnya adalah memastikan dulu tiga besaran mana yang benar-benar tersedia sebelum memilih rumus, bukan langsung memakai satu aturan karena kebiasaan. Bila dua sudut yang terukur (lazim ketika melakukan triangulasi dari dua titik pengamatan tetap), aturan sinus berlaku langsung dan tanpa keraguan. Bila dua jarak beserta sudut di antaranya yang terukur (lazim ketika dua sisi dipatok dari satu titik sudut), aturan kosinus yang berlaku langsung dan tanpa keraguan.
Kasus SSA muncul lebih sering daripada yang diduga -- misalnya ketika yang terukur adalah satu sisi yang diketahui, sisi kedua, dan sudut yang secara fisik tidak berada di antara keduanya -- dan karena kasus ini diam-diam bisa memunculkan dua jawaban yang sama-sama sah, perbandingan a terhadap h yang dijelaskan di atas patut diperiksa secara tersurat setiap kali SSA menjadi satu-satunya kombinasi yang tersedia, alih-alih mengandaikan segitiga pertama yang terhitung sebagai satu-satunya yang cocok dengan data.
Pertanyaan yang sering diajukan
Kapan sebaiknya saya memakai aturan sinus alih-alih aturan kosinus?
Pakailah aturan sinus ketika dua sudut dan sembarang satu sisi diketahui (AAS atau ASA), yang selalu bersolusi tunggal, atau ketika dua sisi dan sudut bukan apit diketahui (SSA), yang menuntut pemeriksaan kasus ambigu. Sebaliknya, pakailah aturan kosinus ketika yang diketahui adalah dua sisi beserta sudut apitnya (SAS) atau ketiga sisinya (SSS).
Apa itu kasus ambigu SSA?
SSA berarti dua sisi dan sebuah sudut bukan apit yang diketahui. Bergantung pada nilainya, kombinasi ini dapat menghasilkan nol, satu, atau dua segitiga sah, tidak seperti AAS, ASA, atau SAS yang selalu menghasilkan tepat satu. Sebagai contoh, dengan a = 20, b = 25, dan sudut A = 40 derajat, ada dua segitiga berbeda yang sama-sama memenuhi data itu -- yang satu bersudut B kira-kira 53,4641 derajat, yang lain kira-kira 126,5359 derajat.
Bagaimana cara mencari sisi yang belum diketahui dengan aturan kosinus?
Terapkan c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C), dengan C sebagai sudut yang terapit di antara sisi a dan b, lalu tarik akar kuadratnya. Untuk a = 8, b = 11, dan C = 37 derajat, c^2 = 64 + 121 - 176 x cos(37 derajat), kira-kira 44,45, sehingga c kira-kira 6,6663.
Bagaimana cara mencari sisi yang belum diketahui dengan aturan sinus?
Susun perbandingan a / sin(A) = b / sin(B) lalu selesaikan untuk sisi yang dicari. Untuk sudut A = 40 derajat, sisi a = 15, dan sudut B = 60 derajat, diperoleh sisi b = (15 x sin 60 derajat) / sin 40 derajat, yaitu kira-kira 20,2094.
Bisakah aturan kosinus menyelesaikan segitiga hanya dari ketiga sisinya (SSS)?
Bisa. Dengan ketiga sisi diketahui, aturan kosinus disusun ulang untuk mencari tiap sudut: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc). Aturan sinus tidak dapat dipakai untuk memulai soal SSS, sebab ia menuntut sedikitnya satu sudut yang diketahui guna menyusun perbandingannya, sedangkan SSS tidak menyediakannya secara langsung.
Referensi
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (law of sines, law of cosines and the SSA ambiguous case).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (solving oblique triangles).