🔟 अभाज्य संख्या कैलकुलेटर

नतीजों को समझना

नीचे दी गई तालिका नमूना इनपुट के लिए तीनों आउटपुट दिखाती है।

• संख्या 1 अभाज्य नहीं है: अभाज्य संख्याओं के ठीक दो अलग-अलग भाजक होने चाहिए, और 1 का केवल एक भाजक है। 1 को बाहर रखना अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता बनाए रखता है।
• परीक्षण भाग सटीक है लेकिन बहुत बड़े इनपुट के लिए धीमा हो जाता है; यह कैलकुलेटर 10^12 तक की संख्याएं स्वीकार करता है, जहां खोज दस लाख तक के भाजकों की जांच करती है।
• इस सीमा में अगली-अभाज्य खोज जल्दी समाप्त होने की गारंटी है: Bertrand की अवधारणा के अनुसार n और 2n के बीच हमेशा एक अभाज्य संख्या होती है।

अभाज्य संख्या क्या है?

अभाज्य संख्या 1 से बड़ी वह प्राकृत संख्या है जिसके ठीक दो धनात्मक भाजक होते हैं: 1 और वह खुद। पहली अभाज्य संख्याएं 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 और 29 हैं। संख्या 2 अकेली सम अभाज्य संख्या है, क्योंकि हर दूसरी सम संख्या 2 से विभाज्य होती है। 1 से बड़ी जो संख्याएं अभाज्य नहीं होतीं उन्हें भाज्य (composite) कहा जाता है; परिभाषा के अनुसार 1 न तो अभाज्य है न भाज्य।

अंकगणित की मूलभूत प्रमेय कहती है कि 1 से बड़ी हर पूर्णांक को गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर, ठीक एक ही तरीके से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। यह अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन ही वजह है कि अभाज्य संख्याओं को पूर्णांकों के निर्माण खंड कहा जाता है: 84 = 2^2 x 3 x 7, और अभाज्य संख्याओं का कोई और संयोजन गुणा करने पर 84 नहीं देता।

अभाज्य संख्याएं अनंत हैं — यह परिणाम यूक्लिड ने लगभग 300 ईसा पूर्व सिद्ध किया था — और संख्याओं के बढ़ने के साथ ये विरल होती जाती हैं, हालांकि इसका कोई सरल पैटर्न नहीं है। बड़ी अभाज्य संख्याएं आधुनिक सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी (जैसे RSA) की नींव हैं, जो दो बहुत बड़ी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को गुणनखंडित करने की व्यावहारिक कठिनाई पर निर्भर करती है।

इस अभाज्य संख्या कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. कम से कम 1 की एक पूर्ण संख्या n दर्ज करें। दशमलव निकटतम पूर्ण संख्या तक नीचे पूर्णांकित होते हैं।
2. अभाज्यता का नतीजा पढ़ें: सही का निशान बताता है कि संख्या अभाज्य है, क्रॉस बताता है कि यह भाज्य है (या 1 है, जो कोई भी नहीं है)।
3. अभाज्य गुणनखंडन पढ़ें — अभाज्य संख्याओं का वह अद्वितीय गुणनफल जो आपकी संख्या के बराबर है। अभाज्य इनपुट के लिए, गुणनखंडन खुद वही संख्या है।
4. अगली अभाज्य संख्या पढ़ें, यानी आपकी संख्या से सख्ती से बड़ी सबसे छोटी अभाज्य संख्या।

अभाज्यता की जांच कैसे होती है: परीक्षण भाग

कोई संख्या n तभी भाज्य है जब उसका कोई भाजक 1 से बड़ा और n के वर्गमूल से ज़्यादा से ज़्यादा हो। ऐसा इसलिए है क्योंकि भाजक जोड़ी में आते हैं: अगर n = a x b, जहां a <= b, तो a <= sqrt(n)। इसलिए परीक्षण भाग को केवल sqrt(n) तक के उम्मीदवार भाजकों की जांच करनी होती है — 2 की जांच के बाद, केवल विषम उम्मीदवारों की ज़रूरत होती है।

उदाहरण (अभाज्य): n = 97। 97 का वर्गमूल लगभग 9.85 है, इसलिए 2, 3, 5, 7 और 9 की जांच करना काफी है। 97 विषम है; 9 + 7 = 16, 3 से विभाज्य नहीं है; यह 0 या 5 पर खत्म नहीं होती; 97 / 7 = 13.857...; और 97 / 9 पूर्ण नहीं है। कोई भाजक नहीं मिलता, इसलिए 97 अभाज्य है।

उदाहरण (गुणनखंडन): n = 84। सबसे छोटी अभाज्य संख्या से शुरू करके भाग देते जाएं: 84 / 2 = 42, 42 / 2 = 21, 21 / 3 = 7, और 7 अभाज्य है। इसलिए 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 2^2 x 3 x 7। 84 के बाद की अगली अभाज्य संख्या 89 है (85 = 5 x 17, 86 = 2 x 43, 87 = 3 x 29, 88 = 2^3 x 11)।

आम गलतियां

• 1 को अभाज्य संख्या गिनना — परिभाषा के अनुसार किसी अभाज्य के ठीक दो अलग-अलग भाजक होते हैं, और 1 का केवल एक है।
• यह मान लेना कि सभी अभाज्य संख्याएं विषम होती हैं: 2 अभाज्य है, और यह अकेली सम अभाज्य संख्या है।
• sqrt(n) पर रुकने के बजाय n तक सभी भाजकों की जांच करना — किसी भी भाज्य संख्या का एक गुणनखंड उसके वर्गमूल पर या उससे नीचे होता है।
• यह मानना कि सभी विषम संख्याएं अभाज्य होती हैं: 9 = 3 x 3, 15 = 3 x 5 और 21 = 3 x 7 विषम भाज्य संख्याएं हैं।
• अभाज्य गुणनखंडन को किसी भी गुणनखंडन के साथ गड्ड-मड्ड करना: 84 = 4 x 21 एक गुणनखंडन है, लेकिन अभाज्य गुणनखंडन 2 x 2 x 3 x 7 है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

संदर्भ

1. Weisstein, Eric W. "Prime Number" and "Fundamental Theorem of Arithmetic." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
2. Hardy GH, Wright EM. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press (primes, unique factorization, Bertrand's postulate).
3. Euclid. Elements, Book IX, Proposition 20 (infinitude of primes).