▦ आव्यूह कैलकुलेटर

सारणिक को समझना

सारणिक के मूल्य का सीधा ज्यामितीय और बीजगणितीय अर्थ है।

• शून्येतर सारणिक वाले 2x2 आव्यूह के लिए व्युत्क्रम बताया जाता है। विलक्षण आव्यूह (सारणिक 0) का कोई व्युत्क्रम नहीं होता; 3x3 मोड केवल सारणिक और ट्रेस बताता है।
• प्रविष्टियां row-major क्रम में दी जानी चाहिए और गिनती चुने आकार से ठीक-ठीक मेल खानी चाहिए: 2x2 के लिए 4 प्रविष्टियां, 3x3 के लिए 9।
• ट्रेस आइगेनमूल्यों के योग के बराबर होता है, और सारणिक उनके गुणनफल के बराबर होता है — रैखिक बीजगणित की दो मानक सर्वसमिकाएं।
• आव्यूह गुणन सामान्य रूप से क्रमविनिमेय नहीं है, लेकिन व्युत्क्रमणीय A के लिए A x A^-1 = A^-1 x A = I हमेशा सही होता है।

आव्यूह का सारणिक, ट्रेस और व्युत्क्रम क्या हैं?

आव्यूह संख्याओं की एक आयताकार सारणी है; वर्ग आव्यूह में उतनी ही पंक्तियां होती हैं जितने स्तंभ। सारणिक किसी वर्ग आव्यूह से गणना की गई एक अकेली संख्या है जो बताती है कि आव्यूह व्युत्क्रमणीय है या नहीं और यह स्थान को कैसे स्केल करता है: सारणिक d वाला एक रैखिक रूपांतरण क्षेत्रफलों (2x2) या आयतनों (3x3) को |d| से गुणा करता है, और ऋणात्मक सारणिक प्रतिबिंब (दिशा उलटना) दर्शाता है।

आव्यूह तभी व्युत्क्रमणीय (गैर-विलक्षण) होता है जब उसका सारणिक शून्येतर हो। व्युत्क्रम A^-1 वह आव्यूह है जो A को पलट देता है: A को A^-1 से गुणा करने पर तत्समक (identity) आव्यूह मिलता है। जब सारणिक शून्य हो तो आव्यूह विलक्षण (singular) होता है — यह स्थान को एक रेखा या तल पर समेट देता है — और कोई व्युत्क्रम मौजूद नहीं होता। सारणिक यह भी तय करते हैं कि रैखिक निकाय Ax = b का कोई अद्वितीय हल है या नहीं।

ट्रेस मुख्य विकर्ण (ऊपर-बाएं से नीचे-दाएं) पर प्रविष्टियों का योग है। यह आव्यूह के आइगेनमूल्यों (eigenvalues) के योग के बराबर होता है और रैखिक बीजगणित तथा भौतिकी में हर जगह दिखता है। 2x2 आव्यूह के लिए, विशिष्ट बहुपद पूरी तरह ट्रेस और सारणिक से तय होता है: lambda^2 - trace x lambda + det = 0।

इस आव्यूह कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. आव्यूह आकार चुनें: 2 x 2 (ठीक 4 प्रविष्टियां चाहिए) या 3 x 3 (ठीक 9 प्रविष्टियां चाहिए)।
2. प्रविष्टियां row-major क्रम में दर्ज करें — पहली पंक्ति बाएं से दाएं, फिर दूसरी पंक्ति, और आगे भी। पंक्तियों (4, 7) और (2, 6) वाले आव्यूह के लिए, दर्ज करें: 4; 7; 2; 6।
3. सारणिक और ट्रेस पढ़ें।
4. शून्येतर सारणिक वाले 2 x 2 आव्यूह के लिए, व्युत्क्रम पढ़ें, जो [a, b; c, d] के रूप में पंक्ति दर पंक्ति दिखाया जाता है। विलक्षण आव्यूह (सारणिक 0) का कोई व्युत्क्रम नहीं होता, और 3 x 3 मोड केवल सारणिक और ट्रेस बताता है।

सारणिक, ट्रेस और व्युत्क्रम फॉर्मूले

2x2 सारणिक: पंक्तियों (a, b) और (c, d) वाले आव्यूह के लिए, det = ad - bc। पंक्तियों (4, 7) और (2, 6) के साथ उदाहरण: det = 4 x 6 - 7 x 2 = 24 - 14 = 10। ट्रेस a + d = 4 + 6 = 10 है।

2x2 व्युत्क्रम: जब det शून्येतर हो, A^-1 = (1/det) x [d, -b; -c, a] — विकर्ण प्रविष्टियों को अदल-बदल करें, विकर्णेतर प्रविष्टियों को ऋणात्मक करें, और सब कुछ सारणिक से भाग दें। उदाहरण के लिए: (1/10) x [6, -7; -2, 4] = [0.6, -0.7; -0.2, 0.4]। जांच: मूल आव्यूह को इस व्युत्क्रम से गुणा करने पर तत्समक आव्यूह मिलता है।

3x3 सारणिक (पहली पंक्ति के साथ कोफैक्टर विस्तार): पंक्तियों (a, b, c), (d, e, f), (g, h, i) के लिए, det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)। पंक्तियों (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 10) के साथ उदाहरण: det = 1 x (5 x 10 - 6 x 8) - 2 x (4 x 10 - 6 x 7) + 3 x (4 x 8 - 5 x 7) = 1 x 2 - 2 x (-2) + 3 x (-3) = 2 + 4 - 9 = -3। ट्रेस 1 + 5 + 10 = 16 है।

आम गलतियां

• मूल्यों को column-major क्रम में दर्ज करना — यह कैलकुलेटर प्रविष्टियां पंक्ति दर पंक्ति पढ़ता है, इसलिए [4, 7, 2, 6] का मतलब है पंक्तियां (4, 7) और (2, 6)।
• 2x2 सारणिक की गणना ad - bc के बजाय ad + bc के रूप में करना।
• 3x3 कोफैक्टर विस्तार में चिह्न-प्रत्यावर्तन भूल जाना: बीच वाला पद घटाया जाता है, det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)।
• सारणिक 0 वाले आव्यूह का व्युत्क्रम निकालने की कोशिश करना — विलक्षण आव्यूह का कोई व्युत्क्रम नहीं होता।
• 2x2 व्युत्क्रम शॉर्टकट में, गलत जोड़ी अदल-बदल करना: विकर्ण प्रविष्टियां a और d अदल-बदल होती हैं, जबकि b और c अपनी जगह रखते हैं लेकिन चिह्न बदल जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

संदर्भ

1. Strang G. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press (determinants, inverses and the trace).
2. Weisstein, Eric W. "Determinant" and "Matrix Inverse." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
3. Anton H, Rorres C. Elementary Linear Algebra. Wiley (cofactor expansion and the adjugate formula).