भिन्न नतीजों को समझना
नतीजे हमेशा सबसे सरल रूप में घटाए जाते हैं। नीचे दी गई तालिका उदाहरण भिन्नों 1/2 और 1/3 पर हर संक्रिया का व्यवहार दिखाती है।
| संक्रिया | गणना | नतीजा | दशमलव |
|---|---|---|---|
| जोड़ | 1/2 + 1/3 = (3 + 2)/6 | 5/6 | 0.833333 |
| घटाव | 1/2 - 1/3 = (3 - 2)/6 | 1/6 | 0.166667 |
| गुणा | 1/2 x 1/3 = 1/6 | 1/6 | 0.166667 |
| भाग | (1/2) / (1/3) = 3/2 | 3/2 | 1.5 |
- अनुचित भिन्न (अंश हर से बड़ा हो, जैसे 3/2) एक वैध नतीजा है; इसे मिश्र संख्या 1 1/2 के रूप में भी लिखा जा सकता है।
- दिखाया गया दशमलव तुल्यांक छह दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित है; 1/3 जैसी भिन्नों के दशमलव विस्तार कभी समाप्त नहीं होते।
- यह कैलकुलेटर इनपुट को पूर्णांकों तक पूर्णांकित करता है, क्योंकि भिन्न परिभाषा के अनुसार पूर्णांकों का अनुपात होती हैं।
भिन्न क्या है?
भिन्न किसी पूर्ण के एक हिस्से को, या अधिक सामान्य रूप से दो पूर्णांकों के अनुपात को दर्शाती है: एक अंश (ऊपर की संख्या) को एक हर (नीचे की संख्या) से भाग दिया जाता है। हर बताता है कि पूर्ण को कितने बराबर हिस्सों में बांटा गया है, और अंश बताता है कि उनमें से कितने हिस्से लिए गए हैं। एक ही मान वाली भिन्नें अलग दिख सकती हैं — 1/2, 2/4 और 3/6 सभी एक ही संख्या दर्शाते हैं।
भिन्न सबसे सरल रूप (पूरी तरह सरलीकृत) में तब होती है जब अंश और हर का 1 से बड़ा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो। सरलीकरण दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD) से भाग देता है। उदाहरण के लिए, 8/12 सरल होकर 2/3 बनती है क्योंकि 8 और 12 का GCD 4 है। यह कैलकुलेटर हमेशा नतीजे सबसे सरल रूप में देता है, और कोई भी ऋणात्मक चिह्न अंश पर रखा जाता है।
भिन्नों पर चार बुनियादी संक्रियाएं तय नियमों का पालन करती हैं: जोड़ और घटाव के लिए उभयनिष्ठ हर चाहिए, गुणा में अंशों और हरों को सीधे गुणा किया जाता है, और भाग में दूसरी भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है। ये नियम भिन्न की परिभाषा — पूर्णांकों के भागफल — से निकलते हैं।
इस भिन्न कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- पहली भिन्न का अंश और हर दर्ज करें। हर शून्य नहीं हो सकता; इनपुट को पूर्णांक माना जाता है।
- संक्रिया चुनें: जोड़, घटाव, गुणा या भाग।
- दूसरी भिन्न का अंश और हर दर्ज करें। भाग के लिए, दूसरी भिन्न का अंश भी शून्य नहीं हो सकता।
- सरलीकृत नतीजा और उसका दशमलव तुल्यांक पढ़ें। ऋणात्मक नतीजों में चिह्न अंश पर होता है।
भिन्न संक्रिया फॉर्मूले
जोड़ और घटाव उभयनिष्ठ हर तक पहुंचने के लिए क्रॉस-गुणन का उपयोग करते हैं: a/b + c/d = (ad + cb) / (bd), और a/b - c/d = (ad - cb) / (bd)। फिर नतीजे को सबसे सरल रूप में घटाया जाता है।
गुणा सीधे आर-पार गुणा करता है: a/b x c/d = (ac) / (bd)। भाग व्युत्क्रम से गुणा करता है: (a/b) / (c/d) = (ad) / (bc), जिसके लिए c का शून्य न होना ज़रूरी है।
उदाहरण (जोड़): 1/2 + 1/3। क्रॉस-गुणा करें: (1 x 3 + 1 x 2) / (2 x 3) = (3 + 2) / 6 = 5/6। 5 और 6 का GCD 1 है, इसलिए 5/6 पहले से सबसे सरल रूप में है; दशमलव में यह 0.833333 है (छह अंकों तक पूर्णांकित)।
उदाहरण (भाग): (1/2) / (1/3) = (1 x 3) / (2 x 1) = 3/2 = 1.5। 1 से छोटी भिन्न से भाग देने पर मूल मूल्य से बड़ा नतीजा मिलता है।
आम गलतियां
- अंशों और हरों को अलग-अलग जोड़ना: 1/2 + 1/3, 2/5 नहीं होता — पहले उभयनिष्ठ हर चाहिए।
- भाग करते समय दूसरी भिन्न को उलटना भूल जाना: (a/b) / (c/d), a/b x d/c के बराबर है, a/b x c/d के नहीं।
- नतीजे को सरल करना भूल जाना — 4/8 और 1/2 बराबर हैं, लेकिन उत्तर परंपरागत रूप से सबसे सरल रूप में दिए जाते हैं।
- जोड़ में काट-छांट करना: (2 + 3)/2 में 2 को काटकर सरल नहीं किया जा सकता; काट-छांट सिर्फ गुणनफलों के उभयनिष्ठ गुणनखंडों पर लागू होती है।
- बड़े हर को बड़ी भिन्न समझना: 1/8, 1/4 से छोटा है, क्योंकि पूर्ण को ज़्यादा हिस्सों में बांटा गया है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अलग-अलग हर वाली भिन्नों को कैसे जोड़ें?
दोनों भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर पर फिर से लिखें, फिर अंशों को जोड़ें। क्रॉस-गुणन का उपयोग करके: a/b + c/d = (ad + cb) / (bd)। उदाहरण के लिए, 1/2 + 1/3 = (1x3 + 1x2) / (2x3) = 5/6। अंत में, अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक से भाग देकर नतीजे को सरल करें।
एक भिन्न को दूसरी से कैसे भाग दें?
पहली भिन्न को दूसरी के व्युत्क्रम से गुणा करें: (a/b) / (c/d) = (a x d) / (b x c)। उदाहरण के लिए, (1/2) / (1/3) = (1 x 3) / (2 x 1) = 3/2 = 1.5। भिन्न से भाग तभी परिभाषित है जब दूसरी भिन्न शून्य न हो।
किसी भिन्न को सबसे सरल रूप में कैसे लाएं?
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD) से भाग दें। उदाहरण के लिए, 8 और 12 का GCD 4 है, इसलिए 8/12 सरल होकर 2/3 बनती है। भिन्न सबसे सरल रूप में तब होती है जब अंश और हर दोनों को भाग देने वाला एकमात्र धनात्मक पूर्णांक 1 हो।
अनुचित भिन्न क्या है?
अनुचित भिन्न में अंश का निरपेक्ष मान हर के बराबर या उससे बड़ा होता है, जैसे 3/2 या 7/4। अनुचित भिन्नें वैध नतीजे हैं और इन्हें मिश्र संख्याओं में फिर से लिखा जा सकता है: 3/2 = 1 1/2 और 7/4 = 1 3/4। दोनों रूप एक ही मान दर्शाते हैं।
नतीजा कभी-कभी ऋणात्मक क्यों होता है?
भिन्न तब ऋणात्मक होती है जब उसके अंश और हर के चिह्न विपरीत हों, या जब घटाव से अंश शून्य से नीचे चला जाए। परंपरा के अनुसार, यह कैलकुलेटर ऋणात्मक चिह्न अंश पर रखता है और हर को धनात्मक रखता है, इसलिए -1/2 दिखाया जाता है, 1/-2 नहीं।
क्या किसी भिन्न का हर शून्य हो सकता है?
नहीं। शून्य से भाग देना अपरिभाषित है, इसलिए शून्य हर वाली भिन्न का कोई मान नहीं होता। अगर कोई भी हर शून्य हो, या आप ऐसी भिन्न से भाग दें जिसका अंश शून्य हो (क्योंकि वह भिन्न शून्य के बराबर होती है), तो यह कैलकुलेटर कोई नतीजा नहीं देता।
संदर्भ
- Weisstein, Eric W. "Fraction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Greatest Common Divisor." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST Handbook 44, Appendix C: General Tables of Units of Measurement (standard fraction conventions). nist.gov.