मापांक और कोणांक को समझना
मापांक और कोणांक मिलकर सम्मिश्र तल में सम्मिश्र संख्या की स्थिति को ध्रुवीय रूप में दर्शाते हैं, जो आयताकार a + bi रूप का पूरक है।
| राशि | अर्थ | सूत्र |
|---|---|---|
| मापांक |z| | मूलबिंदु से बिंदु (a, b) तक की दूरी — संख्या का परिमाण | √(a² + b²) |
| कोणांक arg(z) | धनात्मक वास्तविक अक्ष से बिंदु (a, b) तक का कोण (यहाँ डिग्री में) | atan2(b, a) |
| संयुग्मी z̄ | वास्तविक अक्ष के आर-पार a + bi का प्रतिबिंब | a − bi |
- कोणांक को दो-चर वाले आर्कटैन्जेंट (atan2) से बताया जाता है, जो वास्तविक और काल्पनिक भागों के किसी भी चिह्न संयोजन के लिए कोण को सही चतुर्थांश में रखता है, जबकि सादा arctan(b/a) ऐसा नहीं करता।
- शून्य (0 + 0i) से भाग गणितीय रूप से अपरिभाषित है; ऐसी स्थिति में यह कैलकुलेटर मनमाना मान देने के बजाय कोई परिणाम नहीं देता।
- वास्तविक/काल्पनिक भागों के लिए परिणाम 6 दशमलव स्थानों तक और कोणांक (डिग्री में) 4 दशमलव स्थानों तक गोल किए जाते हैं।
सम्मिश्र संख्या क्या है?
सम्मिश्र संख्या का रूप a + bi होता है, जहाँ a वास्तविक भाग है, b काल्पनिक भाग है, और i काल्पनिक इकाई है जिसे i² = −1 से परिभाषित किया जाता है। सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक संख्या रेखा को एक द्वि-आयामी तल (सम्मिश्र तल) में विस्तारित करती हैं, जिसमें वास्तविक भाग क्षैतिज अक्ष पर और काल्पनिक भाग ऊर्ध्वाधर अक्ष पर अंकित होता है। ये उन बहुपद समीकरणों को हल करते समय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं जिनका कोई वास्तविक मूल नहीं होता, जैसे x² + 1 = 0।
हर सम्मिश्र संख्या a + bi के दो अतिरिक्त मानक वर्णक होते हैं: उसका मापांक |z| = √(a² + b²), जो सम्मिश्र तल में मूलबिंदु से बिंदु (a, b) तक की दूरी है, और उसका कोणांक arg(z) = atan2(b, a), जो मूलबिंदु से (a, b) तक जाने वाली रेखा का धनात्मक वास्तविक अक्ष से बना कोण है। मापांक और कोणांक मिलकर सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप देते हैं, जो आयताकार a + bi रूप का एक विकल्प है और गुणा, भाग व घात के लिए अक्सर अधिक सुविधाजनक होता है।
सम्मिश्र संख्याओं के व्यावहारिक उपयोग शुद्ध गणित से कहीं आगे हैं: विद्युत अभियंता इनका उपयोग प्रत्यावर्ती धारा (AC) की प्रतिबाधा (impedance) और कला (phase) दर्शाने के लिए करते हैं, नियंत्रण सिद्धांत सम्मिश्र तल में पोल के स्थानों के माध्यम से निकाय स्थिरता का विश्लेषण करने के लिए इनका उपयोग करता है, और सिग्नल प्रोसेसिंग फूरियर रूपांतरण के लिए सम्मिश्र घातांकी फलनों पर निर्भर करती है।
इस सम्मिश्र संख्या कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- पहली सम्मिश्र संख्या a + bi का वास्तविक भाग (a) और काल्पनिक भाग (b) डालें।
- संक्रिया चुनें: जोड़, घटाव, गुणा या भाग।
- दूसरी सम्मिश्र संख्या c + di का वास्तविक भाग (c) और काल्पनिक भाग (d) डालें।
- परिणाम को a + bi रूप में, उसके मापांक (परिमाण) और कोणांक (डिग्री में कोण) के साथ पढ़ें। जब दूसरी संख्या 0 + 0i हो तो भाग अपरिभाषित होता है।
सम्मिश्र अंकगणित के पीछे के सूत्र
जोड़ और घटाव वास्तविक भागों को वास्तविक भागों के साथ और काल्पनिक भागों को काल्पनिक भागों के साथ जोड़ते हैं, ठीक वैसे ही जैसे सामान्य बीजगणित में समान पद जोड़े जाते हैं: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i।
गुणा द्विपद गुणनफल की तरह खुलता है और i² = −1 से सरल होता है: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i। डिफ़ॉल्ट मानों a=3, b=2, c=1, d=−4 के साथ हल किया गया उदाहरण: (3 + 2i)(1 − 4i) = (3×1 − 2×(−4)) + (3×(−4) + 2×1)i = (3 + 8) + (−12 + 2)i = 11 − 10i।
भाग में अंश और हर दोनों को हर के सम्मिश्र संयुग्मी (c − di) से गुणा किया जाता है ताकि हर से काल्पनिक भाग हट जाए: (a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c² + d²)। यह तब अपरिभाषित होता है जब c² + d² = 0 हो, अर्थात जब भाजक 0 + 0i हो।
परिणाम का मापांक |z| = √(x² + y²) है जहाँ x और y परिणाम के वास्तविक व काल्पनिक भाग हैं, और कोणांक arg(z) = atan2(y, x) है, जिसे डिग्री में बदला जाता है। 11 − 10i के लिए, मापांक √(11² + 10²) = √221 ≈ 14.866 है और कोणांक atan2(−10, 11) ≈ −42.274° है।
सामान्य गलतियाँ
- गुणा करते समय i² = −1 भूल जाना — यही वह चरण है जो i²bd पद को काल्पनिक नहीं बल्कि वास्तविक योगदान −bd में बदलता है।
- हर के संयुग्मी से पहले गुणा किए बिना सीधे सम्मिश्र संख्याओं को भाग करना — सीधा भाग हर में एक काल्पनिक पद छोड़ देता है, जो वैध अंतिम रूप नहीं है।
- मापांक (हमेशा ≥ 0 वाला परिमाण) को वास्तविक भाग समझ लेना — मापांक √(a² + b²) के माध्यम से वास्तविक और काल्पनिक दोनों भागों का उपयोग करता है।
- कोणांक को सादा arctan(b/a) मानकर पढ़ना — यह दूसरे और तीसरे चतुर्थांश (जहाँ a ऋणात्मक है) में गलत कोण देता है; सही चतुर्थांश के लिए atan2(b, a) आवश्यक है।
- यह गड़बड़ करना कि इनपुट का कौन-सा युग्म किस सम्मिश्र संख्या का है — कैलकुलेटर (a, b) को पहली संख्या और (c, d) को दूसरी संख्या मानता है, और घटाव व भाग के लिए इसी क्रम में लागू करता है, जो क्रमविनिमेय नहीं हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
दो सम्मिश्र संख्याओं को कैसे गुणा करते हैं?
गुणनफल को द्विपद की तरह खोलें और i² को −1 से बदलें: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i। उदाहरण के लिए, (3 + 2i)(1 − 4i) = (3×1 − 2×(−4)) + (3×(−4) + 2×1)i = 11 − 10i। गुणनफल का वास्तविक भाग ac − bd है, और काल्पनिक भाग ad + bc है।
सम्मिश्र संख्याओं को कैसे भाग करते हैं?
अंश और हर दोनों को हर के सम्मिश्र संयुग्मी से गुणा करें, जिससे हर से i हट जाता है: (a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c² + d²)। यह इसलिए काम करता है क्योंकि (c + di)(c − di) = c² + d², जो एक वास्तविक संख्या है। यदि हर 0 + 0i हो तो भाग अपरिभाषित है।
सम्मिश्र संख्या का मापांक क्या है?
मापांक, |z| लिखा जाता है, सम्मिश्र तल में मूलबिंदु से सम्मिश्र संख्या दर्शाने वाले बिंदु तक की दूरी है, जिसकी गणना |a + bi| = √(a² + b²) से होती है। यह वास्तविक संख्याओं के निरपेक्ष मान को सम्मिश्र संख्याओं तक सामान्यीकृत करता है और हमेशा एक अऋणात्मक वास्तविक संख्या होती है।
i का वर्ग क्या है?
परिभाषा के अनुसार, i² = −1। काल्पनिक इकाई i को विशेष रूप से इस तरह परिभाषित किया गया है कि उसका वर्ग ऋण एक हो, और यही सम्मिश्र संख्याओं को x² + 1 = 0 जैसे समीकरणों के हल दर्शाने में सक्षम बनाता है जिनका कोई वास्तविक हल नहीं होता।
सम्मिश्र संख्या का कोणांक क्या है?
कोणांक, arg(z), धनात्मक वास्तविक अक्ष और मूलबिंदु से a + bi दर्शाने वाले बिंदु (a, b) तक जाने वाली रेखा के बीच का कोण है, जिसे वामावर्त दिशा में मापा जाता है। इसकी गणना सही चतुर्थांश सुनिश्चित करने के लिए atan2(b, a) से होती है, और यह कैलकुलेटर इसे डिग्री में दिखाता है।
भाग के लिए हम सम्मिश्र संयुग्मी का उपयोग क्यों करते हैं?
सम्मिश्र संख्या c + di को उसके संयुग्मी c − di से गुणा करने पर एक शुद्ध वास्तविक परिणाम मिलता है, c² + d², क्योंकि क्रॉस पद कट जाते हैं: (c + di)(c − di) = c² − (di)² = c² + d²। इसलिए भाग के अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी से गुणा करने पर हर से काल्पनिक भाग हट जाता है, और परिणाम मानक a + bi रूप में मिलता है।
संदर्भ
- Churchill RV, Brown JW. Complex Variables and Applications. 9th ed. McGraw-Hill, 2013.
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.9 Calculus of a Complex Variable. dlmf.nist.gov.
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Appendix on complex numbers.)