श्रेढ़ी की झलक को समझना
सार्व अंतर का चिह्न तय करता है कि श्रेढ़ी बढ़ती है, घटती है, या स्थिर रहती है, जैसा कि नीचे पहले पद 3 के लिए दिखाया गया है।
| सार्व अंतर (d) | व्यवहार | पहले 5 पद (a₁ = 3) |
|---|---|---|
| d > 0 (जैसे d = 4) | बढ़ती श्रेढ़ी | 3, 7, 11, 15, 19 |
| d = 0 | स्थिर श्रेढ़ी — हर पद a₁ के बराबर | 3, 3, 3, 3, 3 |
| d < 0 (जैसे d = −4) | घटती श्रेढ़ी | 3, −1, −5, −9, −13 |
- श्रेढ़ी की झलक पहले 8 पदों तक दिखाती है; n के 8 से बड़ा होने पर, दीर्घ विराम चिह्न (…) दिखाता है कि श्रेढ़ी दिखाए गए से आगे जारी है, हालाँकि nवाँ पद और योग आपके डाले गए पूरे n के लिए सटीक रूप से गणना किए जाते हैं।
- गुणोत्तर श्रेढ़ी के विपरीत, समांतर श्रेढ़ी में n बढ़ने पर पद कितने बड़े या छोटे हो सकते हैं इसकी कोई ऊपरी सीमा नहीं है (जब तक d = 0 न हो), और इसका कोई परिमित 'अनंत तक योग' नहीं होता — आंशिक योग Sₙ, n बढ़ने पर असीमित रूप से बढ़ता है (जब d ≠ 0 हो)।
समांतर श्रेढ़ी क्या है?
समांतर श्रेढ़ी (या समांतर अनुक्रम) संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची है जिसमें हर पद और उससे पहले वाले पद के बीच का अंतर हमेशा एक ही स्थिरांक होता है, जिसे सार्व अंतर (d) कहते हैं। उदाहरण के लिए, 3, 7, 11, 15, 19 एक समांतर श्रेढ़ी है जिसका पहला पद 3 और सार्व अंतर 4 है, क्योंकि हर पद पिछले पद से 4 अधिक है।
सार्व अंतर धनात्मक (बढ़ती श्रेढ़ी), ऋणात्मक (घटती श्रेढ़ी), या शून्य (स्थिर श्रेढ़ी जिसमें हर पद पहले पद के बराबर होता है) हो सकता है। समांतर श्रेढ़ियाँ हर उस प्रक्रिया का मॉडल बनाती हैं जो हर चरण में एक ही निश्चित मात्रा से बदलती है, जैसे बराबर निश्चित जमा वाली बचत योजना, हर पंक्ति में स्थिर संख्या में अतिरिक्त सीटें, या एक निश्चित अंतराल से घटने वाला काउंटडाउन टाइमर।
समांतर श्रेढ़ी के बारे में सामान्यतः दो संबंधित राशियाँ पूछी जाती हैं: किसी विशिष्ट पद का मान (nवाँ पद), और लगातार पदों की एक श्रृंखला का योग (आंशिक योग, जिसे कभी-कभी समांतर श्रेणी कहा जाता है)। यह कैलकुलेटर इन्हीं तीन इनपुट से दोनों की गणना करता है।
इस समांतर श्रेढ़ी कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- श्रेढ़ी का पहला पद (a₁) डालें — आरंभिक मान।
- सार्व अंतर (d) डालें — वह निश्चित मात्रा जो अगला पद पाने के लिए हर पद में जोड़ी जाती है। घटती श्रेढ़ी के लिए ऋणात्मक संख्या का उपयोग करें।
- जितने पदों (n) के लिए nवाँ पद और योग निकालना है, वह संख्या डालें।
- nवाँ पद, पहले n पदों का योग, और श्रेढ़ी के पहले 8 पदों तक की झलक पढ़ें।
समांतर श्रेढ़ी के सूत्र
समांतर श्रेढ़ी का nवाँ पद पहले पद से शुरू करके सार्व अंतर को (n − 1) बार जोड़कर पाया जाता है, क्योंकि पहले पद को स्वयं शून्य बार जोड़ने की जरूरत होती है: aₙ = a₁ + (n − 1)d। a₁ = 3, d = 4, n = 10 के साथ हल किया गया उदाहरण: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39।
पहले n पदों का योग इस तथ्य का उपयोग करता है कि पहले और अंतिम पद को, दूसरे और अंतिम-से-दूसरे पद को, और इसी तरह जोड़े बनाने पर हमेशा वही जोड़ी-योग (a₁ + aₙ) मिलता है। इससे बंद-रूप योग सूत्र मिलता है Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), जो समतुल्य रूप से Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ) है। हल किया गया उदाहरण: S₁₀ = (10/2) × (2 × 3 + 9 × 4) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210।
यह योग सूत्र गणितीय लोककथा में युवा कार्ल फ्रीडरिख गाउस से जोड़ा जाता है, जिनके बारे में कहा जाता है कि उन्होंने 1 से 100 तक के पूर्णांकों का योग 1+100, 2+99, इस तरह जोड़े बनाकर निकाला, जिससे हर जोड़ी का योग 101 होने वाली 50 जोड़ियाँ बनीं, कुल मिलाकर 5050 — यहाँ उपयोग किए गए सामान्य सूत्र के पीछे भी वही जोड़ी-तर्क है।
सामान्य गलतियाँ
- nवें-पद सूत्र में (n − 1) की जगह n का उपयोग करना — पहले पद (n = 1) को d के शून्य जोड़ की जरूरत है, एक की नहीं, क्योंकि aₙ = a₁ + (n − 1)d।
- सार्व अंतर को सार्व अनुपात से गड़बड़ाना — समांतर श्रेढ़ियाँ हर चरण में एक निश्चित मात्रा जोड़ती हैं; गुणोत्तर श्रेढ़ियाँ इसके बजाय एक निश्चित गुणक से गुणा करती हैं।
- यह मान लेना कि योग सूत्र के लिए हर पद को सूचीबद्ध करना जरूरी है — बंद-रूप सूत्र Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n − 1)d) हर पद को अलग-अलग जोड़े बिना सीधे योग की गणना करता है।
- पदों की गैर-पूर्णांक संख्या डालना — n एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए जो किसी पद की स्थिति (पहला, दूसरा, तीसरा, …) दर्शाता है, भिन्नात्मक गिनती नहीं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
समांतर श्रेढ़ी का nवाँ पद कैसे निकालते हैं?
सूत्र aₙ = a₁ + (n − 1)d का उपयोग करें, जहाँ a₁ पहला पद है, d सार्व अंतर है, और n वह पद संख्या है जो आप चाहते हैं। a₁ = 3, d = 4, और n = 10 के लिए: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39।
समांतर श्रेढ़ी का योग कैसे निकालते हैं?
सूत्र Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d) का उपयोग करें, जो हर पद को अलग-अलग जोड़े बिना पहले n पदों का योग निकालता है। a₁ = 3, d = 4, n = 10 के लिए: S₁₀ = (10/2) × (6 + 36) = 5 × 42 = 210।
समांतर और गुणोत्तर श्रेढ़ी में क्या अंतर है?
समांतर श्रेढ़ी में लगातार पदों के बीच अंतर स्थिर होता है (हर पद = पिछला पद + d)। गुणोत्तर श्रेढ़ी में लगातार पदों के बीच अनुपात स्थिर होता है (हर पद = पिछला पद × r)। समांतर श्रेढ़ियाँ रैखिक रूप से बढ़ती हैं; गुणोत्तर श्रेढ़ियाँ अनुपात का परिमाण 1 न होने पर चरघातांकी रूप से बढ़ती (या घटती) हैं।
क्या सार्व अंतर ऋणात्मक या शून्य हो सकता है?
हाँ। ऋणात्मक सार्व अंतर घटती श्रेढ़ी बनाता है (जैसे 10, 7, 4, 1, −2, जहाँ d = −3)। शून्य सार्व अंतर स्थिर श्रेढ़ी बनाता है जिसमें हर पद पहले पद के बराबर होता है। दोनों वैध समांतर श्रेढ़ियाँ हैं।
दो पदों से सार्व अंतर कैसे निकालते हैं?
किसी पद से उसके ठीक बाद वाले पद को घटाएँ: d = aₙ₊₁ − aₙ। यदि आप केवल दो अ-लगातार पद, aₘ और aₙ, जानते हैं, तो d = (aₙ − aₘ) ÷ (n − m) का उपयोग करें।
संदर्भ
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Arithmetic Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Weisstein EW. 'Arithmetic Series.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.