लघुगणक नतीजों को समझना
तीनों मानक आधार एक ही संख्या के बारे में अलग-अलग सवालों के जवाब देते हैं। नीचे दी गई तालिका x = 100 के लिए इन्हें दिखाती है।
| लघुगणक | आधार | x = 100 के लिए मूल्य | सामान्य उपयोग |
|---|---|---|---|
| ln | e = 2.71828... | 4.60517 | कैलकुलस, सतत वृद्धि और क्षय |
| log10 | 10 | 2 | वैज्ञानिक संकेतन, डेसिबल, pH, परिमाण के क्रम |
| log2 | 2 | 6.643856 | कंप्यूटर विज्ञान, सूचना सिद्धांत (बिट्स) |
- लघुगणक शून्य और ऋणात्मक संख्याओं के लिए अपरिभाषित होते हैं, और आधार धनात्मक होना चाहिए और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए।
- हर आधार में log_b(1) = 0, क्योंकि b^0 = 1; और log_b(b) = 1, क्योंकि b^1 = b।
- जब इनपुट 0 और 1 के बीच हो तो लघुगणक ऋणात्मक होता है — उदाहरण के लिए, log_10(0.01) = -2।
- संकेतन क्षेत्र के अनुसार बदलता है: गणित में बिना आधार के 'log' का अक्सर मतलब ln होता है, जबकि इंजीनियरिंग में और ज़्यादातर कैलकुलेटरों पर इसका मतलब log10 होता है। ISO 80000-2 स्पष्ट संकेतन ln, lg और lb की सिफारिश करता है।
लघुगणक क्या है?
आधार b में संख्या x का लघुगणक, जिसे log_b(x) लिखा जाता है, वह घातांक है जिस तक b को उठाकर x पाया जाता है: अगर b^y = x, तो log_b(x) = y। उदाहरण के लिए, log_10(100) = 2 क्योंकि 10^2 = 100, और log_2(8) = 3 क्योंकि 2^3 = 8। लघुगणक घातांक का व्युत्क्रम है।
व्यवहार में तीन आधार प्रमुख हैं। नैचुरल लघुगणक (ln) आधार e (लगभग 2.71828) का उपयोग करता है और कैलकुलस, वृद्धि और क्षय मॉडलों, और विज्ञान में मानक है। कॉमन लघुगणक (log10) वैज्ञानिक संकेतन और डेसिबल तथा pH जैसे माप पैमानों का आधार है। बाइनरी लघुगणक (log2) कंप्यूटर विज्ञान में हर जगह उपयोग होता है, एल्गोरिदम विश्लेषण से लेकर सूचना सिद्धांत तक, जहां यह बिट्स मापता है।
लघुगणक केवल धनात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित होते हैं, और आधार धनात्मक होना चाहिए और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए। कोई वास्तविक संख्या y नहीं है जिसके लिए b^y शून्य या ऋणात्मक हो, इसीलिए log(0) और ऋणात्मक संख्याओं के लॉग अपरिभाषित हैं, और आधार 1 इसलिए नहीं चलता क्योंकि 1 को किसी भी घात तक उठाने पर हमेशा 1 ही मिलता है।
इस लघुगणक कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- वह संख्या x दर्ज करें जिसका लघुगणक चाहिए। यह धनात्मक होनी चाहिए।
- आधार b दर्ज करें। यह धनात्मक होना चाहिए और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए; आम विकल्प 10, 2 और e (लगभग 2.71828) हैं।
- परिवर्तन-आधार फॉर्मूले से गणना किया गया x का आधार b में लॉग पढ़ें।
- साथ में दिखाए गए उसी संख्या के नैचुरल, कॉमन और बाइनरी लघुगणकों से तुलना करें।
परिवर्तन-आधार फॉर्मूला
किसी भी लघुगणक को किसी अन्य आधार के लघुगणकों से निकाला जा सकता है: log_b(x) = ln(x) / ln(b)। यह परिवर्तन-आधार सर्वसमिका है जिससे कैलकुलेटर सिर्फ नैचुरल लघुगणक का उपयोग करके मनमाने आधारों में लघुगणक निकालते हैं।
उदाहरण: log_2(8)। ln(8) = 2.079442 और ln(2) = 0.693147 निकालें; उनका भागफल 2.079442 / 0.693147 = 3 है। जांच: 2^3 = 8। एक और उदाहरण: log_10(100) = 2, क्योंकि 10^2 = 100; कैलकुलेटर उसी इनपुट के लिए ln(100) = 4.60517 और log_2(100) = 6.643856 भी बताता है।
मुख्य बीजगणितीय सर्वसमिकाएं परिभाषा से निकलती हैं: किसी गुणनफल का लॉग लॉगों के योग के बराबर है, log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y); किसी भागफल का लॉग अंतर के बराबर है; और किसी घात का लॉग घातांक को आगे खींच लाता है, log_b(x^k) = k log_b(x)। ये नियम गुणा को जोड़ में बदल देते हैं, जो लघुगणक सारणियों का मूल उद्देश्य था।
आम गलतियां
- शून्य या ऋणात्मक संख्या का लॉग लेना — लघुगणक केवल धनात्मक इनपुट के लिए परिभाषित हैं।
- यह मान लेना कि log(x + y), log(x) + log(y) के बराबर है; योग नियम गुणनफलों पर लागू होता है, योगों पर नहीं: log(xy) = log(x) + log(y)।
- यह गड्ड-मड्ड करना कि 'log' किस आधार को दर्शाता है: कई कैलकुलेटर और प्रोग्रामिंग भाषाएं अलग होती हैं (JavaScript में, Math.log नैचुरल लॉग है)।
- log_b(x^k) को (log_b x)^k लिखना — घात नियम घातांक को आगे गुणक के रूप में लाता है, लॉग पर नहीं चढ़ाता।
- आधार 1 का उपयोग करना, जिसके लिए कोई लघुगणक मौजूद नहीं है, क्योंकि 1 को किसी भी घात तक उठाने पर 1 ही मिलता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
आधार 10 में 100 का लघुगणक क्या है?
log_10(100) = 2, क्योंकि 10 को घात 2 तक उठाने पर 100 मिलता है। कॉमन लघुगणक दस के गुणनखंड गिनता है, इसलिए log_10(1000) = 3 और log_10(0.01) = -2।
जिस आधार में मेरे कैलकुलेटर पर बटन नहीं है, उसका लॉग कैसे निकालूं?
परिवर्तन-आधार फॉर्मूले का उपयोग करें: log_b(x) = ln(x) / ln(b), या समतुल्य रूप से log_10(x) / log_10(b)। उदाहरण के लिए, log_5(125) = ln(125) / ln(5) = 4.828314 / 1.609438 = 3, और वाकई 5^3 = 125।
ln और log में क्या फर्क है?
ln हमेशा नैचुरल लघुगणक, आधार e (लगभग 2.71828), को दर्शाता है। 'log' अस्पष्ट है: शुद्ध गणित में इसका अक्सर मतलब नैचुरल लॉग होता है, जबकि इंजीनियरिंग, रसायन विज्ञान में और ज़्यादातर हाथ के कैलकुलेटरों पर इसका मतलब आधार 10 होता है। ISO 80000-2 मानक अस्पष्टता से बचने के लिए आधार e के लिए ln, आधार 10 के लिए lg और आधार 2 के लिए lb लिखने की सिफारिश करता है।
मैं किसी ऋणात्मक संख्या का लॉग क्यों नहीं ले सकता?
क्योंकि किसी धनात्मक आधार की कोई वास्तविक घात ऋणात्मक नतीजा नहीं देती: जब b > 0 हो तो हर वास्तविक y के लिए b^y धनात्मक होता है। इसलिए x <= 0 के लिए log_b(x) का कोई वास्तविक मूल्य नहीं होता। (सम्मिश्र विश्लेषण में ऋणात्मक संख्याओं के लघुगणक परिभाषित किए जा सकते हैं, लेकिन वे बहु-मूल्यी होते हैं और वास्तविक-मूल्यी कैलकुलेटरों के दायरे से बाहर हैं।)
log2 का उपयोग किसलिए होता है?
बाइनरी लघुगणक log_2 मापता है कि किसी संख्या तक पहुंचने के लिए कितनी बार दोगुना करना पड़ेगा, जो इसे कंप्यूटर विज्ञान में बुनियादी बनाता है: n क्रमबद्ध वस्तुओं पर बाइनरी खोज में लगभग log_2(n) स्टेप लगते हैं, और log_2, n अलग-अलग मूल्यों को दर्शाने के लिए ज़रूरी बिट्स की संख्या देता है। उदाहरण के लिए, log_2(1024) = 10, इसलिए 10 बिट्स 1024 मूल्यों को संबोधित करते हैं।
लघुगणकीय पैमाने का क्या मतलब है?
लघुगणकीय पैमाना मूल्यों को बराबर अंतरों की बजाय बराबर अनुपातों में रखता है: हर कदम एक स्थिर गुणक से गुणा करता है। डेसिबल, रिक्टर परिमाण पैमाना और pH लघुगणकीय हैं — pH के 1 यूनिट बढ़ने का मतलब है हाइड्रोजन-आयन सांद्रता में दस गुना कमी। लॉग पैमाने कई क्रम के परिमाण फैली मात्राओं को एक धुरी पर पढ़ने लायक बनाते हैं।
संदर्भ
- Weisstein, Eric W. "Logarithm." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- ISO 80000-2:2019. Quantities and units — Part 2: Mathematics (standard notation for ln, lg, lb).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, 1964 (Chapter 4: elementary transcendental functions).