द्विघात सूत्र कहां से आता है
द्विघात सूत्र सामान्य समीकरण ax² + bx + c = 0 (जहां a शून्य के बराबर नहीं है) से 'वर्ग पूरा करना' नामक तकनीक का उपयोग करके निकाला जाता है। हर पद को a से विभाजित करने पर x² + (b/a)x + c/a = 0 मिलता है, फिर स्थिरांक को दूसरी तरफ ले जाने पर x² + (b/a)x = -c/a मिलता है। दोनों पक्षों में (b/2a)² जोड़ने पर बायां पक्ष एक पूर्ण वर्ग बन जाता है: (x + b/2a)² = (b/2a)² - c/a.
दायें पक्ष को एक उभयनिष्ठ हर पर सरल करने पर (x + b/2a)² = (b² - 4ac) / (4a²) मिलता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर (और धनात्मक तथा ऋणात्मक दोनों मूलों की अनुमति देने पर) x + b/2a = प्लस-या-माइनस (b² - 4ac) / (2a) का वर्गमूल मिलता है, और x को अलग करने पर वह जाना-पहचाना सूत्र मिलता है: x = (-b प्लस-या-माइनस b² - 4ac का वर्गमूल) / (2a). हर चरण उलटा जा सकने वाला बीजगणित है, इसीलिए यह सूत्र गैर-शून्य अग्रणी गुणांक वाले हर द्विघात समीकरण के लिए काम करता है, न कि केवल उन समीकरणों के लिए जो साफ-सुथरे ढंग से गुणनखंडित होते हैं।
विविक्तकर: हल करने से पहले यह क्या बताता है
वर्गमूल के नीचे की अभिव्यक्ति, b² - 4ac, को विविक्तकर (डिस्क्रिमिनेंट) कहा जाता है, और अकेले इसका चिह्न ही, बिना मूल निकाले, बता देता है कि समीकरण किस प्रकार के मूल रखता है। धनात्मक विविक्तकर का मतलब है कि वर्गमूल एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसलिए प्लस-या-माइनस से x के दो भिन्न वास्तविक मान मिलते हैं। ठीक शून्य का विविक्तकर मतलब है कि वर्गमूल वाला पद पूरी तरह गायब हो जाता है, इसलिए प्लस और माइनस दोनों स्थितियां एक ही मान x = -b / (2a) पर सिमट जाती हैं।
ऋणात्मक विविक्तकर का मतलब है कि वर्गमूल के नीचे की अभिव्यक्ति ऋणात्मक है, जिसका कोई वास्तविक वर्गमूल नहीं होता -- केवल एक काल्पनिक वर्गमूल होता है, क्योंकि किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या गुणा i के रूप में परिभाषित होता है, जहां i काल्पनिक इकाई है जो i² = -1 को संतुष्ट करती है। इस स्थिति में सूत्र फिर भी दो उत्तर देता है, लेकिन ये वास्तविक संख्याओं के बजाय p + qi और p - qi रूप का एक जटिल संयुग्मी युग्म होते हैं।
| विविक्तकर (b² - 4ac) | मूलों की संख्या और प्रकार | परवलय क्या करता है |
|---|---|---|
| धनात्मक (> 0) | दो भिन्न वास्तविक मूल | x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है |
| शून्य (= 0) | एक दोहराया वास्तविक मूल, x = -b / (2a) | x-अक्ष को ठीक एक बिंदु (शीर्ष) पर छूता है |
| ऋणात्मक (< 0) | दो जटिल संयुग्मी मूल, p ± qi | x-अक्ष को कभी नहीं छूता या काटता |
वर्कड उदाहरण 1: दो भिन्न वास्तविक मूल (D > 0)
x² - 3x + 2 = 0 हल करें। यहां a = 1, b = -3, c = 2 है। विविक्तकर (-3)² - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 है, जो धनात्मक है, इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल अपेक्षित हैं। सूत्र लागू करने पर: x = (3 प्लस-या-माइनस 1 का वर्गमूल) / (2 x 1) = (3 प्लस-या-माइनस 1) / 2. इससे x1 = (3 + 1) / 2 = 2 और x2 = (3 - 1) / 2 = 1 मिलता है।
इन मूलों को मूल समीकरण का गुणनखंडन करके जांचा जा सकता है: x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2), जो x = 1 या x = 2 पर बिल्कुल शून्य होता है, जो सूत्र के उत्तर की पुष्टि करता है। एक और जांच वियता के सूत्रों का उपयोग करती है: मूलों का योग -b/a = 3 के बराबर होना चाहिए, और वास्तव में 2 + 1 = 3 है; गुणनफल c/a = 2 के बराबर होना चाहिए, और वास्तव में 2 x 1 = 2 है।
वर्कड उदाहरण 2: एक दोहराया वास्तविक मूल (D = 0)
x² - 4x + 4 = 0 हल करें। यहां a = 1, b = -4, c = 4 है। विविक्तकर (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 है, इसलिए एक ही दोहराया मूल अपेक्षित है। चूंकि विविक्तकर शून्य है, सूत्र सीधे सरल होकर x = -b / (2a) = 4 / 2 = 2 बन जाता है।
यह समीकरण (x - 2)² = 0 के रूप में गुणनखंडित होता है, जो पुष्टि करता है कि x = 2 ही एकमात्र मूल है, जिसे दो बार गिना जाता है (बहुलता 2 के साथ)। ज्यामितीय रूप से, परवलय y = x² - 4x + 4 अपने शीर्ष (2, 0) पर x-अक्ष को केवल छूता है, उससे होकर नहीं गुजरता -- यह शून्य विविक्तकर का दृश्य संकेत है।
वर्कड उदाहरण 3: दो जटिल संयुग्मी मूल (D < 0)
x² + 2x + 5 = 0 हल करें। यहां a = 1, b = 2, c = 5 है। विविक्तकर 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 है, जो ऋणात्मक है, इसलिए कोई वास्तविक मूल मौजूद नहीं है। सूत्र लागू करने पर: x = (-2 प्लस-या-माइनस -16 का वर्गमूल) / (2 x 1). -16 का वर्गमूल 4i है, क्योंकि (4i)² = 16 x i² = 16 x (-1) = -16, इसलिए x = (-2 प्लस-या-माइनस 4i) / 2 = -1 प्लस-या-माइनस 2i.
इसलिए दोनों मूल -1 + 2i और -1 - 2i हैं, एक जटिल संयुग्मी युग्म -- यानी दोनों का वास्तविक भाग समान (-1) है और काल्पनिक भाग विपरीत चिह्न के हैं। परवलय y = x² + 2x + 5 पूरी तरह x-अक्ष के ऊपर स्थित है (इसका न्यूनतम मान, x = -1 पर, 4 है), जो वह ज्यामितीय कारण है कि यह अक्ष को कभी नहीं काटता और इसलिए इसका कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
द्विघात सूत्र क्या है?
द्विघात सूत्र ax² + bx + c = 0 रूप के किसी भी समीकरण को हल करता है, जहां a शून्य नहीं है, और बताता है कि x = (-b प्लस-या-माइनस b² - 4ac का वर्गमूल), पूरा 2a से विभाजित। यह सामान्य द्विघात समीकरण पर वर्ग पूरा करके निकाला जाता है और हर द्विघात समीकरण के लिए काम करता है, चाहे वह पूर्ण संख्याओं में गुणनखंडित हो या न हो।
विविक्तकर क्या बताता है?
विविक्तकर, b² - 4ac, द्विघात सूत्र में वर्गमूल के नीचे की अभिव्यक्ति है, और इसका चिह्न हल करने से पहले ही मूलों का प्रकार बता देता है। धनात्मक विविक्तकर का मतलब दो भिन्न वास्तविक मूल है, शून्य विविक्तकर का मतलब x = -b/(2a) पर एक दोहराया वास्तविक मूल है, और ऋणात्मक विविक्तकर का मतलब दो जटिल संयुग्मी मूल और कोई वास्तविक हल न होना है।
जटिल मूलों वाला द्विघात समीकरण कैसे हल करें?
जब विविक्तकर b² - 4ac ऋणात्मक हो, तो उसके निरपेक्ष मान का वर्गमूल लें और उसमें काल्पनिक इकाई i जोड़ दें। x² + 2x + 5 = 0 के लिए विविक्तकर -16 है, और -16 का वर्गमूल 4i है, जिससे मूल x = (-2 प्लस-या-माइनस 4i) / 2 = -1 प्लस-या-माइनस 2i मिलते हैं -- एक जटिल संयुग्मी युग्म।
द्विघात सूत्र कहां से आता है?
यह सामान्य समीकरण ax² + bx + c = 0 पर वर्ग पूरा करने से आता है। a से विभाजित करना, स्थिरांक को अलग करना, और दोनों पक्षों में (b/2a)² जोड़ना बाएं पक्ष को एक पूर्ण वर्ग, (x + b/2a)², बना देता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेकर x को अलग करने पर x = (-b प्लस-या-माइनस b² - 4ac का वर्गमूल) / (2a) मिलता है।
क्या द्विघात समीकरण का ठीक एक ही हल हो सकता है?
हां, जब विविक्तकर ठीक शून्य के बराबर हो। उस स्थिति में सूत्र का प्लस-या-माइनस एक ही मान, x = -b / (2a), पर सिमट जाता है, जिसे दोहराया मूल कहा जाता है। उदाहरण के लिए, x² - 4x + 4 = 0 का विविक्तकर 16 - 16 = 0 है और एकमात्र दोहराया मूल x = 2 है, क्योंकि समीकरण (x - 2)² = 0 के रूप में गुणनखंडित होता है।
संदर्भ
- Weisstein, Eric W. "Quadratic Equation." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Vieta's Formulas." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage (derivation of the quadratic formula and the discriminant).