Qu'est-ce qu'une intégrale, vraiment ? Aire, sommes de Riemann et le théorème fondamental

La question à laquelle répond une intégrale : quelle est l'aire sous cette courbe ?

Une intégrale définie, notée ∫ₐᵇ f(x) dx, répond à une question géométrique précise : quelle est l'aire signée nette entre le graphe de f et l'axe des x, de x = a à x = b ? « Signée nette » signifie que l'aire où f(x) est positive (la courbe est au-dessus de l'axe des x) compte positivement, tandis que l'aire où f(x) est négative (la courbe est sous l'axe des x) compte négativement et se soustrait du total.

C'est une question différente de celle de la dérivée, qui mesure un taux de variation en un seul point. Une intégrale accumule au contraire une quantité — une aire — sur tout un intervalle, ce qui explique pourquoi les intégrales apparaissent naturellement chaque fois qu'un total se construit à partir d'un taux qui varie continuellement, comme la distance totale parcourue à partir d'une vitesse variable, ou la quantité totale accumulée à partir d'un taux de production variable.

Sommes de Riemann : approximer l'aire avec des rectangles

Une somme de Riemann approxime l'aire sous une courbe en découpant l'intervalle [a, b] en n sous-intervalles plus petits, en traçant un rectangle sur chacun dont la hauteur correspond à la valeur de la fonction en un point de ce sous-intervalle, puis en additionnant les aires de tous les rectangles. Les trois variantes courantes — sommes de Riemann à gauche, à droite et au point médian — ne diffèrent que par le point du sous-intervalle utilisé pour fixer la hauteur du rectangle : l'extrémité gauche, l'extrémité droite, ou le point médian.

À mesure que le nombre de sous-intervalles n augmente, chaque rectangle devient plus étroit et l'approximation en escalier épouse de plus près la courbe réelle, de sorte que le total de la somme de Riemann se rapproche de l'aire exacte. L'intégrale définie est formellement définie comme la limite d'une somme de Riemann lorsque n tend vers l'infini (autrement dit, lorsque la largeur de chaque rectangle tend vers zéro) — c'est cette limite qui fait de l'intégrale un nombre précisément défini et non une simple approximation.

Des sommes de Riemann à la méthode de Simpson : la méthode utilisée par cette calculatrice

Le tableau ci-dessus montre à la fois une somme de Riemann à gauche et une somme de Riemann au point médian pour f(x) = x² sur [0, 1] convergeant vers la valeur exacte, 1/3 ≈ 0,33333333, à mesure que le nombre de sous-intervalles n augmente — la version au point médian converge nettement plus vite que la version à gauche pour cette fonction, ce qui illustre que toutes les variantes de sommes de Riemann ne convergent pas à la même vitesse.

La calculatrice d'intégrale de ce site n'utilise pas du tout de rectangles ; elle utilise la méthode de Simpson composite adaptative, une méthode d'intégration numérique qui ajuste un arc parabolique sur chaque paire de sous-intervalles adjacents (plutôt qu'un sommet plat de rectangle) et additionne les aires sous ces paraboles. Comme une parabole peut épouser bien plus fidèlement la courbure d'une fonction qu'un sommet plat de rectangle, la méthode de Simpson atteint une précision donnée avec beaucoup moins de sous-intervalles qu'une somme de Riemann n'en nécessite — la calculatrice double le nombre de sous-intervalles de façon répétée jusqu'à ce que des estimations successives concordent à une tolérance numérique stricte, puis renvoie cette valeur convergée.

Le théorème fondamental du calcul, expliqué simplement

Le théorème fondamental du calcul relie deux opérations du calcul qui semblent, à première vue, mesurer des choses totalement différentes — la dérivée (taux de variation instantané) et l'intégrale définie (aire accumulée) — et montre qu'elles sont l'inverse l'une de l'autre. Formulé simplement : si F est une primitive quelconque de f (c'est-à-dire F'(x) = f(x)), alors l'intégrale définie de f entre a et b est égale à F(b) − F(a), la variation de la valeur de F sur l'intervalle.

Ce théorème est ce qui rend possible l'évaluation exacte et symbolique de nombreuses intégrales sans jamais additionner de rectangles ou de paraboles à la main : trouver une seule formule de primitive permet d'évaluer n'importe quelle intégrale définie de cette fonction par une simple soustraction. La calculatrice d'intégrale de ce site n'emprunte pas cette voie — elle calcule l'intégrale numériquement avec la méthode de Simpson directement, sans d'abord trouver ni avoir besoin d'une formule de primitive, ce qui explique en partie pourquoi elle peut intégrer des fonctions qui n'ont pas de primitive simple sous forme close.

Exemple résolu : ∫₀¹ x² dx = 1/3

La fonction f(x) = x² a pour primitive F(x) = x³/3, puisque dériver x³/3 redonne x² par la règle de la puissance. En appliquant le théorème fondamental du calcul : ∫₀¹ x² dx = F(1) − F(0) = (1³/3) − (0³/3) = 1/3 − 0 = 1/3 ≈ 0,33333333.

Ce résultat symbolique exact correspond à la fois au tableau des sommes de Riemann ci-dessus, qui se rapproche de 1/3 à mesure que le nombre de rectangles augmente, et au résultat numérique de la méthode de Simpson que cette calculatrice renverrait pour les mêmes bornes — trois voies différentes (primitivation symbolique, limite des sommes de Riemann, et quadrature numérique adaptative) convergeant vers la même valeur, 1/3, parce qu'elles calculent toutes la même aire signée nette.

Questions fréquentes

Références

1. Stewart J. Calculus. Cengage Learning (Riemann sums, the definite integral, the Fundamental Theorem of Calculus, and Simpson's rule).
2. Burden RL, Faires JD. Numerical Analysis. Cengage Learning (composite Simpson's rule and its error bounds).
3. Atkinson KE. An Introduction to Numerical Analysis. Wiley (numerical integration methods).
4. NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 3: Numerical Methods — quadrature. dlmf.nist.gov.