قيم الزوايا الشائعة
يعرض الجدول التالي قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا الأكثر استخداماً، مقرَّبة إلى ستة أرقام عشرية.
| الزاوية | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0.5 | 0.866025 | 0.577350 |
| 45° | 0.707107 | 0.707107 | 1 |
| 60° | 0.866025 | 0.5 | 1.732051 |
| 90° | 1 | 0 | غير مُعرَّف |
- الظل غير مُعرَّف عند 90° (وعند كل زاوية على الصورة 90° + 180°k) لأن جيب التمام يساوي صفراً عندها، فتصبح النسبة sin/cos غير مُعرَّفة.
- الخلط بين وضعي الدرجات والراديان هو أشيع خطأ في حساب المثلثات على الإطلاق — فالقيمة العددية 30 نفسها تمثل زاوية مختلفة تماماً بالدرجات (30°) عنها بالراديان (نحو 1719°).
- في الدوال العكسية، إدخال قيمة خارج المدى [−1, 1] للجيب العكسي أو جيب التمام العكسي غير مُعرَّف رياضياً، إذ لا توجد زاوية حقيقية جيبها أو جيب تمامها خارج هذا المدى.
ما هي الدوال المثلثية؟
تربط دوال الجيب وجيب التمام والظل بين زوايا المثلث القائم الزاوية ونسب أطوال أضلاعه: فالجيب هو المقابل على الوتر، وجيب التمام هو المجاور على الوتر، والظل هو المقابل على المجاور (أي sin θ / cos θ). أما الدوال العكسية — الجيب العكسي وجيب التمام العكسي والظل العكسي — فتأخذ النسبة كمدخل وتعيد الزاوية المقابلة لها.
الجيب وجيب التمام دالتان متممتان: sin(θ) = cos(90° − θ). ولذلك تعرض هذه الحاسبة قيمة الدالة المتممة إلى جانب النتيجة الأساسية في حالات sin و cos و asin و acos، كما تعرض ظل التمام إلى جانب الظل، حتى تتضح العلاقة بين الدوال المترابطة من نظرة واحدة.
كيفية استخدام حاسبة المثلثات
- اختر الدالة: sin أو cos أو tan أو الدوال العكسية sin⁻¹ و cos⁻¹ و tan⁻¹.
- اختر وحدة الزاوية: درجات أو راديان. وينطبق هذا الاختيار على الزاوية المُدخلة في الدوال المباشرة وعلى الزاوية الناتجة عن الدوال العكسية.
- أدخل القيمة — زاوية في حالة sin و cos و tan، أو نسبة في حالة الدوال العكسية.
- اقرأ النتيجة، وقيمة الدالة المتممة المرتبطة بها حيثما وُجدت.
قوانين النسب المثلثية
تتطلب الدالتان العكسيتان asin و acos مُدخلاً بين −1 و 1 شاملاً الطرفين، لأن قيم الجيب وجيب التمام لا تخرج أبداً عن هذا المدى.
أخطاء شائعة
- ترك الحاسبة على وحدة الزاوية الخاطئة (درجات مقابل راديان)، وهو ما يعطي نتيجة مختلفة تماماً لكنها تبدو صحيحة عددياً.
- إدخال زاوية بدلاً من نسبة بين −1 و 1 في الجيب العكسي أو جيب التمام العكسي.
- توقع أن تعطي tan(90°) عدداً كبيراً بدلاً من "غير مُعرَّف" — فدالة الظل لها خط تقارب رأسي عند هذه الزاوية رياضياً.
- الخلط بين الدالة ودالتها العكسية، مثل استخدام sin بينما المقصود cos⁻¹.
الأسئلة الشائعة
كم قيمة sin(30°)؟
sin(30°) = 0.5 بالضبط. أما دالتها المتممة cos(30°) فتساوي √3/2 ≈ 0.866025، وهو ما يتفق مع العلاقة sin(30°) = cos(90° − 30°) = cos(60°).
كم قيمة cos(45°)؟
cos(45°) = √2/2 ≈ 0.707107، وهي تساوي sin(45°) تماماً، لأن 45° متممة لنفسها (90° − 45° = 45°).
لماذا تكون tan(90°) غير مُعرَّفة؟
الظل يساوي الجيب مقسوماً على جيب التمام، و cos(90°) = 0. والقسمة على صفر غير مُعرَّفة، ولذلك ليست لـ tan(90°) قيمة منتهية — فلدالة الظل خط تقارب رأسي عند 90° وعند كل 180° بعدها.
ما الفرق بين sin و sin⁻¹؟
تأخذ الدالة sin(θ) زاوية وتعيد نسبة بين −1 و 1. أما sin⁻¹(x)، أي الجيب العكسي، فتفعل العكس: تأخذ نسبة بين −1 و 1 وتعيد الزاوية المقابلة لها.
كيف نحوّل بين الدرجات والراديان؟
اضرب الدرجات في π/180 للحصول على الراديان، أو اضرب الراديان في 180/π للحصول على الدرجات. فمثلاً 60° × π/180 ≈ 1.0472 راديان.
كم قيمة arcsin(0.5)؟
arcsin(0.5) = 30° (أي π/6 راديان)، لأن sin(30°) = 0.5. وتعرض الحاسبة أيضاً زاوية الدالة المتممة arccos(0.5) = 60°، إذ إن 30° + 60° = 90°.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Trigonometric Functions." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).