إشارات الأرباع وزوايا دائرة الوحدة القياسية
لكل من الجيب وجيب التمام والظل نمط إشارة ثابت في كل ربع من الأرباع الأربعة، وتأخذ هذه الدوال قيمًا مضبوطة عند الزوايا المرجعية القياسية المذكورة أدناه.
| الربع | مدى الزاوية | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°–90° | موجب | موجب | موجب |
| II | 90°–180° | موجب | سالب | سالب |
| III | 180°–270° | سالب | سالب | موجب |
| IV | 270°–360° | سالب | موجب | سالب |
- الزاوية المرجعية هي دائمًا الزاوية الحادة (0°–90°) المحصورة بين الضلع النهائي والمحور x، وتُستعمل مع نمط إشارات الربع لاستخراج القيم المثلثية المضبوطة لأي زاوية انطلاقًا من القيم القياسية عند 0°/30°/45°/60°/90°.
- الظل غير معرَّف عند 90° و270° (وعند الزوايا المشتركة معهما في الطرف)، لأن جيب التمام يساوي صفرًا عند هاتين الزاويتين.
- تُختزل الزوايا التي تتجاوز 360° والزوايا السالبة أولًا إلى زاوية مشتركة في الطرف ضمن المدى [0°, 360°) قبل تحديد الربع والزاوية المرجعية.
ما هي دائرة الوحدة؟
دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل في المستوى الإحداثي. ولأي زاوية θ تُقاس بعكس اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور x، تكون إحداثيات النقطة التي يقطع عندها الضلع النهائي للزاوية الدائرةَ هي (cos θ, sin θ)، وهو ما يجعل دائرة الوحدة أساسًا بصريًا وحسابيًا لجميع الدوال المثلثية.
ولأن نصف قطر الدائرة يساوي 1 تمامًا، تُقرأ قيم الجيب وجيب التمام مباشرة بوصفها إحداثيات دون أي عملية قياس أو ضرب إضافية. كما تعرض هذه الحاسبة الزاوية المشتركة في الطرف (الزاوية المكافئة الواقعة بين 0° و360°)، والربع الذي يقع فيه الضلع النهائي، والزاوية المرجعية (الزاوية الحادة إلى أقرب جزء من المحور x)، وهي معًا تفسّر إشارة القيم المثلثية ومقدارها.
كيفية استخدام حاسبة دائرة الوحدة
- أدخل قيمة الزاوية.
- اختر وحدة الزاوية: درجات أو راديان.
- اقرأ قيم الجيب وجيب التمام والظل للزاوية، إضافة إلى ربعها وزاويتها المرجعية وزاويتها المشتركة في الطرف (الزاوية المكافئة ضمن دورة واحدة من 0° إلى 360°).
صيغ دائرة الوحدة
لأن نصف قطر دائرة الوحدة يساوي 1، فإن إحداثيات النقطة (x, y) تطابق (cos θ, sin θ) تمامًا، فلا حاجة إلى الضرب في نصف القطر كما هو الحال في الدائرة العامة.
أخطاء شائعة
- ترك وحدة الزاوية على الراديان عند إدخال قيمة بالدرجات، أو العكس، فينتج عن ذلك ناتج يبدو سليمًا لكنه خاطئ.
- افتراض أن الزاوية المرجعية تساوي الزاوية المدخلة للزوايا الواقعة خارج الربع الأول، بينما تُقاس الزاوية المرجعية دائمًا من أقرب جزء من المحور x لا من 0°.
- توقّع قيمة عددية للظل عند 90° أو 270°، حيث يكون الظل غير معرَّف لأن جيب التمام يساوي صفرًا.
- نسيان أن الزوايا السالبة والزوايا التي تتجاوز 360° تكافئ زاوية مشتركة في الطرف ضمن دورة كاملة واحدة (0°–360°).
الأسئلة الشائعة
ما قيمتا الجيب وجيب التمام عند 225 درجة؟
عند 225° يكون sin(225°) = cos(225°) = −0.707107، أي أن كلتيهما تساوي −√2/2. والسبب أن 225° تقع في الربع الثالث، حيث الزاوية المرجعية 45° (225° − 180°) ويكون كل من الجيب وجيب التمام سالبًا.
في أي ربع تقع زاوية 225 درجة؟
تقع 225° في الربع الثالث (180°–270°)، حيث يكون كل من الجيب وجيب التمام سالبًا والظل موجبًا. وزاويتها المرجعية هي 225° − 180° = 45°.
ما هي الزاوية المرجعية؟
الزاوية المرجعية هي الزاوية الحادة، الواقعة دائمًا بين 0° و90°، المتكوّنة بين الضلع النهائي للزاوية والمحور x. فبالنسبة إلى زاوية مقدارها 225°، تكون الزاوية المرجعية 45°، لأن 225° تتجاوز علامة 180° بمقدار 45°.
ما هي الزاوية المشتركة في الطرف؟
الزاوية المشتركة في الطرف هي زاوية تشترك في الضلع النهائي نفسه بعد اختزالها إلى المدى 0°–360° (أي دورة كاملة واحدة). فزاوية مقدارها 585° تكافئ زاوية مشتركة في الطرف مقدارها 585° − 360° = 225°، لأن كلتيهما تشير إلى الموضع نفسه على الدائرة.
لماذا يكون tan(90°) غير معرَّف على دائرة الوحدة؟
الظل يساوي sin θ / cos θ، وعند 90° تكون النقطة على دائرة الوحدة هي (0, 1)، أي أن cos(90°) = 0. والقسمة على صفر غير معرَّفة، ولذلك لا توجد قيمة للظل عند 90° (وكذلك عند 270° حيث يكون جيب التمام صفرًا أيضًا).
ما القيم المضبوطة للجيب وجيب التمام عند 30° و45° و60°؟
sin(30°) = 0.5 و cos(30°) ≈ 0.866025؛ و sin(45°) = cos(45°) ≈ 0.707107؛ و sin(60°) ≈ 0.866025 و cos(60°) = 0.5. وهذه أكثر قيم دائرة الوحدة تداولًا وحفظًا، وجميعها تقع في الربع الأول.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).