Hiểu kết quả đạo hàm của bạn
Dấu của đạo hàm bậc hai, khi có kết quả, cho biết tính lồi lõm cục bộ của hàm tại x0 — một kết quả chuẩn mực trong giải tích.
| f″(x₀) | Tính lồi lõm tại x₀ |
|---|---|
| Dương | Lồi xuống — hàm cong lên trên, giống như một thung lũng, gần x₀ |
| Âm | Lồi lên — hàm cong xuống dưới, giống như một ngọn đồi, gần x₀ |
| Bằng hoặc gần 0 | Có thể là điểm uốn — tính lồi lõm có thể đang đổi chiều gần x₀; cần kiểm tra thêm |
- Đây là một ước lượng bằng số, không phải đạo hàm ký hiệu — máy tính không bao giờ tạo ra công thức tổng quát f'(x); nó chỉ trả về giá trị của đạo hàm tại đúng một điểm x0 đã nhập.
- Cú pháp biểu thức được hỗ trợ: các hàm sin, cos, tan, asin, acos, atan, sqrt, cbrt, abs, ln (lôgarit tự nhiên), log (lôgarit cơ số 10), log2 (lôgarit cơ số 2), exp, floor, ceil, round, min, max; các hằng số pi, e, tau; các toán tử + − * / % ^; và biến x. Các hàm lượng giác dùng đơn vị radian.
- Các hàm có điểm gián đoạn, góc nhọn, hoặc giá trị không xác định gần x0 (ví dụ, tính gần một tiệm cận đứng) có thể khiến ước lượng sai phân hữu hạn kém chính xác hoặc không trả về kết quả.
- Ước lượng bằng số có một sai số cắt cụt nhỏ, nhìn chung không đáng kể ở độ chính xác hiển thị đối với các hàm trơn, cư xử tốt, nhưng sai số đó có thể tăng với các hàm biến thiên nhanh cục bộ.
Đạo hàm bằng số là gì?
Đạo hàm đo tốc độ biến thiên tức thời của một hàm tại một điểm — về mặt hình học, đó là hệ số góc của đường tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó. Phép lấy đạo hàm ký hiệu tạo ra một công thức tổng quát, f'(x), đúng với mọi x. Máy tính này thay vào đó tính đạo hàm bằng số: nó ước lượng f'(x0), một con số duy nhất, đúng tại điểm x0 bạn nhập, mà không bao giờ tạo ra công thức tổng quát f'(x).
Phương pháp số được dùng là sai phân trung tâm 5 điểm: máy tính đánh giá f tại vài điểm rất gần x0 ở cả hai phía và kết hợp các giá trị đó thành một ước lượng có độ chính xác cao cho hệ số góc tại x0, với sai số giảm tỉ lệ với lũy thừa bậc bốn của bước nhảy. Đây là một kỹ thuật chuẩn mực, đã được khẳng định trong giải tích số, khác với phép lấy đạo hàm ký hiệu của các hệ đại số máy tính.
Vì kết quả mang tính số học, muốn tính đạo hàm tại một điểm khác thì phải chạy lại máy tính với giá trị x0 mới đó — không có biểu thức đại số nào của f'(x) được trả về để có thể thay trực tiếp các điểm khác vào.
Cách dùng máy tính đạo hàm này
- Nhập một hàm theo x, ví dụ x^3 - 2*x + 1, sin(x)/x, hoặc sqrt(x) + ln(x). Phép nhân phải được viết tường minh bằng *, và lũy thừa dùng ^.
- Nhập điểm x0 nơi cần tính giá trị đạo hàm.
- Đọc f'(x0), đạo hàm bằng số tại điểm đó, và f(x0), giá trị của hàm tại đó.
- Nơi hàm khả vi hai lần quanh x0, hãy đọc thêm f''(x0), đạo hàm bậc hai bằng số, và phương trình tiếp tuyến, vốn cho xấp xỉ tuyến tính tốt nhất của f gần x0.
Công thức đằng sau đạo hàm bằng số
Ước lượng sai phân trung tâm 5 điểm là f'(x0) ≈ [−f(x0+2h) + 8f(x0+h) − 8f(x0−h) + f(x0−2h)] / (12h), một công thức sai phân hữu hạn cổ điển có sai số tỉ lệ với h⁴ — nghĩa là giảm bước nhảy h đi một nửa sẽ giảm sai số khoảng 16 lần.
Đạo hàm bậc hai được ước lượng bằng một sai phân trung tâm đơn giản hơn: f''(x0) ≈ [f(x0+h) − 2f(x0) + f(x0−h)] / h². Dấu của nó cho biết tính lồi lõm cục bộ: dương nghĩa là hàm cong lên (lồi xuống) gần x0, âm nghĩa là hàm cong xuống (lồi lên) gần x0.
Tiếp tuyến tại x0, xấp xỉ đường thẳng tốt nhất của f gần điểm đó, là y = f'(x0)(x − x0) + f(x0).
Ví dụ minh họa: f(x) = x³ − 2x + 1 tại x0 = 2. Đạo hàm bằng số là f'(2) = 10, khớp với đạo hàm ký hiệu 3x² − 2 khi thay x = 2 (3×4 − 2 = 10). Giá trị hàm là f(2) = 8 − 4 + 1 = 5, nên tiếp tuyến là y = 10(x − 2) + 5.
Những lỗi thường gặp
- Mong đợi một công thức ký hiệu như "3x² − 2" — máy tính này chỉ trả về giá trị số của đạo hàm tại đúng điểm x0 bạn nhập, dùng xấp xỉ sai phân hữu hạn, chứ không phải phép lấy đạo hàm ký hiệu (đại số).
- Viết phép nhân ngầm như 2x thay vì 2*x, hoặc dùng ** thay cho ^ để chỉ lũy thừa — bộ phân tích cú pháp đòi hỏi các toán tử tường minh thuộc tập được hỗ trợ.
- Tính tại một điểm mà hàm không xác định hoặc gián đoạn, chẳng hạn 1/x tại x0 = 0, khiến ước lượng sai phân hữu hạn không đáng tin hoặc không trả về kết quả.
- Cho rằng kết quả bằng số là chính xác tuyệt đối ở mọi độ chính xác — phương pháp sai phân trung tâm có một sai số cắt cụt nhỏ nhưng khác không, thường không nhìn thấy ở số chữ số thập phân hiển thị đối với các hàm trơn.
- Dùng log với nghĩa lôgarit tự nhiên — trong cú pháp của máy tính này, ln là lôgarit tự nhiên (cơ số e) còn log là cơ số 10; log2 là cơ số 2.
Câu hỏi thường gặp
Máy tính này có cho tôi công thức đạo hàm, kiểu f'(x) = 3x² − 2 không?
Không. Máy tính này chỉ trả về giá trị số của đạo hàm tại đúng điểm x0 bạn nhập, được tính bằng phương pháp sai phân hữu hạn. Để biết hành vi của đạo hàm tại một điểm khác, hãy nhập điểm đó làm x0 mới và tính lại.
Máy tính đạo hàm này dùng phương pháp số nào?
Sai phân trung tâm 5 điểm: f'(x0) ≈ [−f(x0+2h) + 8f(x0+h) − 8f(x0−h) + f(x0−2h)] / (12h), một công thức sai phân hữu hạn chuẩn mực trong giải tích số với sai số tỉ lệ với h⁴.
Biểu thức hỗ trợ những hàm và toán tử nào?
sin, cos, tan, asin, acos, atan, sqrt, cbrt, abs, ln, log, log2, exp, floor, ceil, round, min, max; các hằng số pi, e và tau; các toán tử + − * / % ^; và biến x. Các hàm lượng giác được tính theo radian.
Đạo hàm bằng số chính xác đến mức nào?
Đối với các hàm trơn, cư xử tốt, phương pháp sai phân trung tâm 5 điểm chính xác vượt xa số chữ số thập phân được hiển thị. Độ chính xác giảm sút gần các điểm gián đoạn, góc nhọn, hoặc những điểm mà hàm không xác định ở sát x0.
Kết quả tiếp tuyến có ý nghĩa gì?
Tiếp tuyến, y = f'(x0)(x − x0) + f(x0), là xấp xỉ đường thẳng tốt nhất của hàm gần x0. Nó chạm đường cong tại (x0, f(x0)) và có cùng hệ số góc với hàm tại đúng điểm đó.
Vì sao đôi khi kết quả thiếu đạo hàm bậc hai?
Đạo hàm bậc hai dùng công thức sai phân trung tâm riêng của nó và chỉ được hiển thị khi phép tính đó trả về một giá trị hữu hạn — ví dụ, khi hàm không xác định hoặc gián đoạn ngay sát quanh x0, ước lượng đạo hàm bậc hai sẽ bị bỏ qua.
Tài liệu tham khảo
- Burden RL, Faires JD. Numerical Analysis. Cengage Learning (finite-difference approximations to derivatives).
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press (numerical differentiation).
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (the derivative as instantaneous rate of change and slope of the tangent line).
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 3: Numerical Methods — finite-difference formulas. dlmf.nist.gov.