Câu hỏi mà tích phân trả lời: diện tích dưới đường cong này là bao nhiêu?
Tích phân xác định, viết là ∫ₐᵇ f(x) dx, trả lời một câu hỏi hình học cụ thể: diện tích có dấu giữa đồ thị của f và trục x, từ x = a đến x = b, bằng bao nhiêu? «Có dấu» nghĩa là phần diện tích nơi f(x) dương (đường cong nằm trên trục x) được tính là dương, còn phần nơi f(x) âm (đường cong nằm dưới trục x) được tính là âm và trừ bớt vào tổng.
Đây là một câu hỏi khác hẳn việc tìm đạo hàm, vốn đo tốc độ biến thiên tại một điểm. Tích phân thì tích lũy một đại lượng — diện tích — trên cả một khoảng, và đó là lý do tích phân xuất hiện tự nhiên mỗi khi ta cần dựng một tổng từ một tốc độ biến thiên liên tục, chẳng hạn tổng quãng đường đi được từ vận tốc thay đổi, hay tổng sản lượng tích lũy từ một tốc độ sản xuất không cố định.
Tổng Riemann: xấp xỉ diện tích bằng hình chữ nhật
Tổng Riemann xấp xỉ diện tích dưới một đường cong bằng cách chia khoảng [a, b] thành n khoảng con nhỏ hơn, dựng trên mỗi khoảng con một hình chữ nhật có chiều cao bằng giá trị hàm số tại một điểm nào đó trong khoảng con ấy, rồi cộng diện tích tất cả các hình chữ nhật lại. Ba biến thể quen thuộc — tổng Riemann trái, phải và trung điểm — chỉ khác nhau ở chỗ lấy điểm nào trong khoảng con để định chiều cao: mút trái, mút phải hay trung điểm.
Khi số khoảng con n tăng lên, mỗi hình chữ nhật hẹp lại và đường viền răng cưa của các hình chữ nhật bám theo đường cong thật sát hơn, nên tổng Riemann tiến dần đến diện tích chính xác. Tích phân xác định được định nghĩa chính thức là giới hạn của tổng Riemann khi n tiến ra vô cực (hay tương đương, khi bề rộng mỗi hình chữ nhật tiến về không) — chính giới hạn này khiến tích phân là một con số xác định chứ không chỉ là một phép xấp xỉ.
| Số khoảng con (n) | Tổng Riemann trái | Tổng Riemann trung điểm |
|---|---|---|
| 4 | 0,218750 | 0,328125 |
| 8 | 0,273438 | 0,332031 |
| 16 | 0,302734 | 0,333008 |
| 100 | 0,328350 | 0,333325 |
Từ tổng Riemann đến quy tắc Simpson: phương pháp máy tính này dùng
Bảng trên cho thấy cả tổng Riemann trái lẫn tổng Riemann trung điểm của f(x) = x² trên [0, 1] đều hội tụ về giá trị chính xác 1/3 ≈ 0,33333333 khi số khoảng con n tăng lên — phiên bản trung điểm hội tụ nhanh hơn hẳn phiên bản mút trái với hàm này, cho thấy các biến thể tổng Riemann không hội tụ với cùng tốc độ.
Máy tính tích phân trên trang này hoàn toàn không dùng hình chữ nhật; nó dùng quy tắc Simpson tổng hợp thích nghi, một phương pháp tích phân số ghép một cung parabol qua từng cặp khoảng con liền kề (thay vì một nóc hình chữ nhật phẳng) rồi cộng diện tích dưới các parabol đó. Vì parabol bám theo độ cong của đồ thị sát hơn nhiều so với nóc phẳng, quy tắc Simpson đạt cùng độ chính xác với số khoảng con ít hơn hẳn so với tổng Riemann — máy tính liên tục nhân đôi số khoảng con cho đến khi hai ước lượng liên tiếp khớp nhau trong một sai số cho phép rất chặt, rồi báo giá trị đã hội tụ đó.
Định lý cơ bản của giải tích, phát biểu dễ hiểu
Định lý cơ bản của giải tích nối hai phép toán thoạt nhìn dường như đo những thứ hoàn toàn khác nhau — đạo hàm (tốc độ biến thiên tức thời) và tích phân xác định (diện tích tích lũy) — và chỉ ra rằng chúng là hai phép toán ngược nhau. Nói nôm na: nếu F là một nguyên hàm bất kỳ của f (nghĩa là F'(x) = f(x)), thì tích phân xác định của f từ a đến b bằng F(b) − F(a), tức độ biến thiên giá trị của F trên khoảng đó.
Chính định lý này cho phép tính chính xác rất nhiều tích phân theo lối ký hiệu mà không cần cộng tay hình chữ nhật hay parabol nào: chỉ cần tìm được một công thức nguyên hàm là mọi tích phân xác định của hàm đó đều tính được bằng một phép trừ đơn giản. Máy tính tích phân trên trang này không đi theo lối ấy — nó tính tích phân trực tiếp bằng phương pháp số với quy tắc Simpson, không cần tìm và cũng không cần đến công thức nguyên hàm, và đó là một phần lý do nó tích phân được cả những hàm không có nguyên hàm dạng đóng đơn giản.
Ví dụ minh họa: ∫₀¹ x² dx = 1/3
Hàm f(x) = x² có nguyên hàm F(x) = x³/3, vì lấy đạo hàm x³/3 sẽ trả về x² theo quy tắc lũy thừa. Áp dụng định lý cơ bản của giải tích: ∫₀¹ x² dx = F(1) − F(0) = (1³/3) − (0³/3) = 1/3 − 0 = 1/3 ≈ 0,33333333.
Đáp án ký hiệu chính xác này khớp với cả bảng tổng Riemann ở trên, vốn tiến dần về 1/3 khi số hình chữ nhật tăng lên, lẫn kết quả số theo quy tắc Simpson mà máy tính sẽ trả về với cùng cận tích phân — ba con đường khác nhau (tìm nguyên hàm theo lối ký hiệu, lấy giới hạn tổng Riemann, và cầu phương số thích nghi) cùng hội tụ về đúng một giá trị 1/3, bởi cả ba đều đang tính cùng một diện tích có dấu.
Câu hỏi thường gặp
Tích phân xác định biểu diễn điều gì?
Tích phân xác định, ∫ₐᵇ f(x) dx, biểu diễn diện tích có dấu giữa đồ thị hàm số và trục x, từ x = a đến x = b. Phần diện tích nằm trên trục x (nơi f dương) được tính là dương, còn phần nằm dưới trục x (nơi f âm) được tính là âm và trừ bớt vào tổng.
Tổng Riemann là gì?
Tổng Riemann xấp xỉ diện tích dưới một đường cong bằng cách chia khoảng thành các khoảng con nhỏ hơn, dựng trên mỗi khoảng con một hình chữ nhật, rồi cộng diện tích các hình chữ nhật lại. Khi số khoảng con tăng lên và mỗi hình chữ nhật hẹp dần, tổng Riemann tiến đến diện tích chính xác — tích phân xác định được định nghĩa chính thức là giới hạn của quá trình này.
Quy tắc Simpson khác tổng Riemann ở chỗ nào?
Tổng Riemann xấp xỉ diện tích bằng các hình chữ nhật nóc phẳng, còn quy tắc Simpson ghép một cung parabol qua từng cặp khoảng con rồi cộng diện tích dưới các parabol đó. Vì parabol bám theo độ cong của đồ thị sát hơn nóc hình chữ nhật phẳng, quy tắc Simpson thường đạt độ chính xác cao với số khoảng con ít hơn hẳn so với một tổng Riemann tương đương.
Định lý cơ bản của giải tích nói gì, diễn đạt nôm na?
Nó nói rằng việc tìm tích phân xác định (diện tích tích lũy) và việc tìm đạo hàm (tốc độ biến thiên tức thời) là hai phép toán ngược nhau: nếu F là một nguyên hàm của f thì tích phân xác định của f từ a đến b bằng F(b) − F(a). Nhờ vậy, khi đã biết công thức nguyên hàm, nhiều tích phân được tính chỉ bằng một phép trừ, thay vì phải cộng vô hạn hình chữ nhật.
∫₀¹ x² dx bằng bao nhiêu và tính thế nào?
Nó bằng đúng 1/3 (xấp xỉ 0,33333333). Dùng định lý cơ bản của giải tích với nguyên hàm F(x) = x³/3: ∫₀¹ x² dx = F(1) − F(0) = 1/3 − 0 = 1/3. Các phương pháp số như tổng Riemann và quy tắc Simpson cũng hội tụ về đúng giá trị này khi số khoảng chia tăng lên.
Tài liệu tham khảo
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (Riemann sums, the definite integral, the Fundamental Theorem of Calculus, and Simpson's rule).
- Burden RL, Faires JD. Numerical Analysis. Cengage Learning (composite Simpson's rule and its error bounds).
- Atkinson KE. An Introduction to Numerical Analysis. Wiley (numerical integration methods).
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 3: Numerical Methods — quadrature. dlmf.nist.gov.