Tiến tới một giá trị không giống với đạt tới giá trị đó
Giới hạn hỏi xem hàm số tiến ngày càng sát tới giá trị nào khi biến số tiến ngày càng sát tới một điểm c, mà không đòi hỏi hàm số phải xác định tại c, cũng không đòi hỏi giá trị tại c phải bằng giá trị giới hạn ấy nếu nó có xác định. Chính sự phân biệt này — tiến tới so với đạt tới — là ý tưởng cốt lõi tách giới hạn khỏi phép thế trực tiếp: phép thế hỏi «f(c) bằng bao nhiêu?», còn giới hạn hỏi «f(x) tiến tới đâu khi x sát c tùy ý?», và hai câu hỏi ấy có thể cho hai đáp án khác nhau, hoặc câu này có đáp án còn câu kia thì không.
Với một hàm đủ đẹp (liên tục), tiến tới và đạt tới cho cùng một đáp án, và đó là lý do phép thế trực tiếp vẫn hoạt động với hầu hết hàm số gặp trong đại số sơ cấp. Giới hạn chỉ thực sự cần đến đúng tại những điểm hàm số không còn đẹp — không xác định, gián đoạn, hoặc dựng từ một tỉ số sinh ra dạng vô định như 0/0 tại đúng điểm đó — tức chính những chỗ phép thế bó tay nhưng giới hạn vẫn có thể tồn tại.
Giới hạn một phía và giới hạn hai phía
Giới hạn một phía chỉ xét dáng điệu của hàm số từ một hướng: giới hạn trái, viết lim(x→c⁻) f(x), xét giá trị của f khi x tiến tới c từ phía dưới (qua các giá trị nhỏ hơn c); giới hạn phải, viết lim(x→c⁺) f(x), xét giá trị của f khi x tiến tới c từ phía trên (qua các giá trị lớn hơn c). Giới hạn hai phía, viết lim(x→c) f(x) không kèm dấu, chỉ tồn tại khi cả giới hạn trái lẫn giới hạn phải đều tồn tại và bằng nhau.
Hàm f(x) = |x| / x minh họa trường hợp hai giới hạn một phía không khớp nhau tại c = 0: với mọi x âm, |x| / x = −1 nên giới hạn trái là −1; với mọi x dương, |x| / x = 1 nên giới hạn phải là 1. Vì −1 ≠ 1, giới hạn hai phía tại x = 0 không tồn tại, mặc dù từng giới hạn một phía đều tồn tại và hoàn toàn xác định.
| Hướng tiến | Dáng điệu của f(x) = |x| / x | Giới hạn |
|---|---|---|
| Bên trái (x → 0⁻) | f(x) = −1 với mọi x < 0 | lim = −1 |
| Bên phải (x → 0⁺) | f(x) = 1 với mọi x > 0 | lim = 1 |
| Hai phía (x → 0) | Giới hạn trái và phải không khớp (−1 ≠ 1) | Không tồn tại |
Trường hợp kinh điển: vì sao sin(x)/x cần giới hạn chứ không phải phép thế
Thế thẳng x = 0 vào sin(x)/x cho sin(0)/0 = 0/0, một dạng vô định tự nó không mang giá trị số nào — 0/0 không mặc nhiên là 0, cũng không mặc nhiên là 1, cũng không mặc nhiên là vô nghĩa mãi mãi; nó chỉ có nghĩa là phép thế trực tiếp không trả lời được câu hỏi và ta phải tính giới hạn. Tính sin(x)/x tại một dãy giá trị x co dần về 0 từ cả hai phía cho thấy giá trị hàm số bám đều về 1, chứ không về 0 hay bất kỳ số nào khác.
Bằng số: tại x = 0,1 thì sin(x)/x ≈ 0,998334; tại x = 0,01 thì sin(x)/x ≈ 0,999983; tại x = 0,001 thì sin(x)/x ≈ 0,9999998; tại x = 0,0001 thì sin(x)/x ≈ 0,99999998. Cả xu hướng bên trái lẫn bên phải đều hội tụ về 1, nên lim(x→0) sin(x)/x = 1, dù bản thân hàm sin(x)/x không xác định tại đúng x = 0. Đây là một kết quả chuẩn mực trong giải tích, và thường được chứng minh chặt chẽ bằng lập luận kẹp (định lý kẹp) dựa trên hình học chứ không chỉ bằng tính toán số.
Khi giới hạn không tồn tại: 1/x tại x = 0
Không phải giới hạn nào cũng tồn tại. Hàm f(x) = 1/x khi x tiến tới c = 0 minh họa một giới hạn thất bại vì tăng vô hạn chứ không phải vì hai phía lệch nhau một cách đơn giản: khi x tiến tới 0 từ bên phải (các giá trị dương nhỏ), 1/x tăng không giới hạn về phía dương vô cực; khi x tiến tới 0 từ bên trái (các giá trị âm nhỏ), 1/x giảm không giới hạn về phía âm vô cực. Vì hai dáng điệu một phía phân kỳ về hai vô cực trái dấu thay vì cùng ổn định ở một số hữu hạn, giới hạn hai phía tại x = 0 không tồn tại.
Giới hạn cũng có thể không tồn tại vì dao động chứ không phải vì phân kỳ ra vô cực — chẳng hạn sin(1/x) khi x tiến tới 0 dao động giữa −1 và 1 vô số lần dù x có sát 0 đến đâu, không bao giờ ổn định về một giá trị nào từ phía nào. Cả tăng vô hạn lẫn dao động dai dẳng đều là những lý do chuẩn mực, được ghi nhận rõ, khiến giới hạn không tồn tại, khác với trường hợp hai giới hạn một phía lệch nhau như ở |x|/x phía trên.
Vì sao giới hạn là nền móng của cả đạo hàm lẫn tích phân
Định nghĩa hình thức của đạo hàm bản thân nó đã là một giới hạn — giới hạn của hệ số góc cát tuyến khi hai điểm xác định nó tiến sát lại — và định nghĩa hình thức của tích phân xác định cũng là một giới hạn, giới hạn của tổng Riemann khi số hình chữ nhật tăng vô hạn. Vì vậy, hiểu giới hạn là gì và khi nào nó tồn tại hay không tồn tại không phải một chủ đề phụ trong giải tích; đó là cỗ máy nằm dưới cả hai phép toán trung tâm của môn học.
Đây cũng là lý do máy tính giới hạn theo phương pháp số, như máy tính trên trang này, về mặt ý tưởng được dựng đúng theo cách ta vừa khảo sát sin(x)/x: nó ước lượng dáng điệu bên trái và bên phải bằng cách tính giá trị hàm tại những điểm ngày càng sát điểm tiến từ mỗi phía, rồi kiểm tra xem hai xu hướng ấy có khớp nhau đủ chặt để báo một giới hạn hai phía hay không.
Câu hỏi thường gặp
Giới hạn không tồn tại nghĩa là gì?
Nghĩa là dáng điệu của hàm số khi x tiến tới một điểm cụ thể không ổn định về một giá trị xác định duy nhất — thường vì giới hạn trái và giới hạn phải lệch nhau (như |x|/x tại x = 0), vì hàm số tăng không giới hạn theo hai chiều ngược nhau từ mỗi phía (như 1/x tại x = 0), hoặc vì hàm số dao động dai dẳng quanh điểm đó mà không ổn định.
Giới hạn một phía khác giới hạn hai phía ở chỗ nào?
Giới hạn một phía chỉ xét dáng điệu của hàm số khi tiến tới một điểm từ một hướng duy nhất — giới hạn trái từ các giá trị nhỏ hơn, giới hạn phải từ các giá trị lớn hơn. Giới hạn hai phía chỉ tồn tại khi cả hai giới hạn một phía đều tồn tại và bằng nhau; nếu chúng lệch nhau thì giới hạn hai phía không tồn tại, dù từng giới hạn một phía vẫn hoàn toàn xác định.
Vì sao lim(x→0) sin(x)/x = 1 trong khi sin(0)/0 không xác định?
Vì giới hạn hỏi hàm số tiến tới giá trị nào, chứ không hỏi hàm số bằng bao nhiêu tại chính điểm đó. Thế trực tiếp cho dạng vô định 0/0, vốn tự nó không mang giá trị nào, nhưng tính sin(x)/x tại các điểm ngày càng sát 0 từ cả hai phía cho thấy giá trị hội tụ đều về 1 — đó chính là giới hạn, dù bản thân hàm số không xác định tại đúng x = 0.
Khi nào thì giới hạn không tồn tại?
Giới hạn không tồn tại khi giới hạn trái và giới hạn phải lệch nhau (như |x|/x tại x = 0), khi hàm số tăng không giới hạn về hai vô cực trái dấu từ mỗi phía (như 1/x tại x = 0), hoặc khi hàm số dao động dai dẳng quanh điểm đó mà không ổn định về giá trị nào (như sin(1/x) quanh x = 0).
Một hàm số có thể có giới hạn tại điểm mà nó không xác định hay không?
Có. Giới hạn mô tả giá trị mà hàm số tiến tới khi biến số tiến sát một điểm, chứ không phải giá trị hàm số nhận tại điểm đó, nên hai câu hỏi có thể cho hai đáp án khác nhau. Hàm sin(x)/x không xác định tại x = 0, nhưng giới hạn của nó khi x tiến tới 0 đúng bằng 1, vì giá trị hàm số hội tụ về 1 từ cả hai hướng dù x = 0 bị loại khỏi tập xác định.
Tài liệu tham khảo
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (the formal definition of a limit, one-sided limits, and the squeeze theorem).
- Spivak M. Calculus (4th ed). Publish or Perish, 2008 (rigorous treatment of limits and continuity).
- Thomas GB, Weir MD, Hass J. Thomas' Calculus. Pearson (limits, one-sided limits, and indeterminate forms).
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 3: Numerical Methods. dlmf.nist.gov.