Định lý Pythagore phát biểu điều gì
Trong bất kỳ tam giác vuông nào -- tam giác có đúng một góc 90 độ -- bình phương độ dài cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông) bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại, gọi là cạnh góc vuông. Viết dưới dạng công thức: a² + b² = c², trong đó a và b là hai cạnh góc vuông và c là cạnh huyền. Mối quan hệ này được đặt theo tên nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagoras, mặc dù bằng chứng cho thấy cùng mối quan hệ số học này đã được các nhà toán học Babylon và các nền văn minh cổ đại khác biết đến và sử dụng, độc lập với bất kỳ chứng minh chính thức nào, từ trước thời Pythagoras rất lâu.
Định lý này chỉ áp dụng cho tam giác vuông trên mặt phẳng (Euclid). Nó không đúng với các tam giác không có góc vuông -- những trường hợp đó cần định lý cosin tổng quát hơn -- và cũng không đúng chính xác với tam giác vẽ trên bề mặt cong, chẳng hạn như mặt cầu, nơi hình học tự nó đã khác.
Vì sao định lý đúng: chứng minh cổ điển bằng cách sắp xếp lại hình
Một trong những cách chứng minh nổi tiếng nhất của định lý, thường gọi là chứng minh bằng sắp xếp lại hình, dùng bốn bản sao giống hệt nhau của cùng một tam giác vuông (với cạnh góc vuông a và b, cạnh huyền c) sắp xếp bên trong một hình vuông lớn có cạnh (a + b). Sắp xếp theo một cách, bốn tam giác bao quanh một hình vuông nhỏ hơn, nghiêng, ở giữa có cạnh c, nên diện tích hình vuông lớn được chia thành bốn tam giác cộng hình vuông ở giữa đó: (a + b)² = 4 x (1/2 x a x b) + c², rút gọn thành (a + b)² = 2ab + c².
Khai triển vế trái theo đại số, (a + b)² = a² + 2ab + b². Đặt hai biểu thức cùng biểu diễn tổng diện tích đó bằng nhau: a² + 2ab + b² = 2ab + c². Trừ 2ab ở cả hai vế còn lại a² + b² = c² -- định lý Pythagore, được suy ra hoàn toàn từ việc so sánh hai cách tính cùng một diện tích hình vuông. Cách chứng minh cụ thể này chỉ là một trong hàng trăm cách đã được công bố qua nhiều thế kỷ; tuyển tập The Pythagorean Proposition của Elisha Loomis liệt kê 367 cách chứng minh khác nhau của định lý.
Bộ ba Pythagore: 3-4-5 và hơn thế
Một bộ ba Pythagore là tập hợp ba số nguyên dương a, b và c thỏa mãn chính xác a² + b² = c², nghĩa là tồn tại một tam giác vuông với ba cạnh là các số nguyên đó mà không cần làm tròn. Bộ ba nhỏ nhất và được biết đến rộng rãi nhất là 3-4-5, vì 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
Bất kỳ bội số nguyên nào của một bộ ba đã biết cũng là một bộ ba hợp lệ -- ví dụ, nhân đôi 3-4-5 được 6-8-10, và nhân ba được 9-12-15, cả hai đều thỏa mãn a² + b² = c². Những bộ ba không phải là bội số của một bộ ba nhỏ hơn, như 3-4-5, 5-12-13 và 8-15-17 dưới đây, được gọi là bộ ba Pythagore nguyên thủy.
| Cạnh góc vuông a | Cạnh góc vuông b | Cạnh huyền c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
Ứng dụng thực tế: đường chéo và khoảng cách
Vì đường chéo của hình chữ nhật, cùng với hai cạnh kề nhau, tạo thành một tam giác vuông, định lý Pythagore cho trực tiếp độ dài đường chéo: đường chéo = căn bậc hai của (chiều dài² + chiều rộng²). Hình chữ nhật 6 x 8 đơn vị có đường chéo là căn bậc hai của (6² + 8²) = căn bậc hai của (36 + 64) = căn bậc hai của 100 = đúng bằng 10 đơn vị -- bộ ba 6-8-10, một bội số của 3-4-5.
Cùng nguyên lý đó mở rộng sang ba chiều cho đường chéo không gian của một hình hộp chữ nhật, tìm được bằng cách áp dụng định lý hai lần: trước tiên tìm đường chéo của hình chữ nhật đáy, sau đó kết hợp đường chéo đó với chiều cao của hộp. Một hộp có kích thước 12 x 9 x 8 đơn vị có đường chéo không gian là căn bậc hai của (12² + 9² + 8²) = căn bậc hai của (144 + 81 + 64) = căn bậc hai của 289 = đúng bằng 17 đơn vị. Công thức khoảng cách tọa độ dùng để tìm khoảng cách đường thẳng giữa hai điểm, d = căn bậc hai của ((x2-x1)² + (y2-y1)²), chính là định lý này áp dụng trực tiếp cho hiệu ngang và hiệu dọc giữa hai điểm: với hai điểm (1,2) và (4,6), khoảng cách là căn bậc hai của (3² + 4²) = căn bậc hai của 25 = 5.
Định lý đảo: dùng 3-4-5 để kiểm tra góc vuông
Định lý đảo của định lý Pythagore cũng đúng và thường được dùng trong thực tế: nếu ba độ dài cạnh đo được thỏa mãn a² + b² = c², thì tam giác tạo bởi chúng phải có một góc vuông đối diện với cạnh dài nhất, ngay cả khi góc đó chưa từng được đo trực tiếp. Định lý đảo này là cơ sở của phương pháp 3-4-5 truyền thống dùng trong xây dựng và mộc để kiểm tra hoặc tạo một góc vuông (90 độ): đo 3 đơn vị dọc theo một cạnh, 4 đơn vị dọc theo cạnh vuông góc với nó, và xác nhận đường chéo giữa hai điểm đánh dấu đó đúng bằng 5 đơn vị sẽ xác nhận góc đó là góc vuông thật sự.
Điều này đúng vì định lý đảo đảm bảo một kết quả duy nhất: ba độ dài dương thỏa mãn a² + b² = c² chỉ có thể tạo thành tam giác vuông, không bao giờ là tam giác nhọn hay tù, với góc vuông nằm đối diện cạnh dài nhất, c. Bất kỳ bội số nào của bộ ba 3-4-5 -- như 6-8-10 hay 9-12-15 -- đều dùng tương tự để kiểm tra các góc lớn hơn.
Câu hỏi thường gặp
Công thức của định lý Pythagore là gì?
a² + b² = c², trong đó a và b là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông và c là cạnh huyền, cạnh đối diện góc vuông. Nó chỉ áp dụng cho tam giác vuông trên mặt phẳng.
Làm sao chứng minh định lý Pythagore?
Một phương pháp cổ điển, chứng minh bằng sắp xếp lại hình, sắp xếp bốn tam giác vuông giống hệt nhau bên trong một hình vuông cạnh (a + b) sao cho tổng diện tích có thể tính theo hai cách khác nhau -- một lần là (a + b)², và một lần là bốn tam giác cộng một hình vuông nghiêng ở giữa có diện tích c². Đặt hai biểu thức diện tích đó bằng nhau và rút gọn theo đại số cho ra a² + b² = c². Hàng trăm cách chứng minh khác cũng đã được công bố, kể cả tuyển tập của Elisha Loomis ghi lại 367 cách.
Bộ ba Pythagore là gì, và bộ ba nhỏ nhất là gì?
Bộ ba Pythagore là tập hợp ba số nguyên dương a, b và c thỏa mãn chính xác a² + b² = c². Bộ ba nhỏ nhất và phổ biến nhất là 3-4-5, vì 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Các bộ ba phổ biến khác gồm 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 và 9-40-41.
Định lý Pythagore được dùng như thế nào để tìm đường chéo hình chữ nhật?
Đường chéo hình chữ nhật tạo thành cạnh huyền của một tam giác vuông với chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật là hai cạnh góc vuông, nên đường chéo = căn bậc hai của (chiều dài² + chiều rộng²). Hình chữ nhật 6 x 8 có đường chéo là căn bậc hai của (36 + 64) = căn bậc hai của 100 = đúng bằng 10 đơn vị.
Định lý Pythagore có đúng trên bề mặt cong không?
Không. Định lý chỉ đúng chính xác với tam giác vuông vẽ trên mặt phẳng (Euclid). Trên bề mặt cong, chẳng hạn bề mặt hình cầu, mối quan hệ giữa góc và độ dài cạnh được chi phối bởi một hình học phi Euclid khác, và a² + b² = c² không còn đúng chính xác với tam giác có góc 90 độ.
Thợ xây dùng quy tắc 3-4-5 để kiểm tra góc vuông như thế nào?
Theo định lý đảo của định lý Pythagore, nếu ba độ dài đo được thỏa mãn a² + b² = c², góc đối diện cạnh dài nhất phải đúng bằng 90 độ. Đánh dấu 3 đơn vị dọc theo một cạnh và 4 đơn vị dọc theo cạnh vuông góc, sau đó xác nhận khoảng cách giữa hai điểm đó đúng bằng 5 đơn vị, sẽ xác minh một góc vuông thật sự -- phương pháp thường dùng trong xây dựng và mộc.
Tài liệu tham khảo
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Loomis ES. The Pythagorean Proposition. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1968 (a compendium of 367 proofs).
- Euclid. Elements, Book I, Proposition 47 (the classical geometric proof of the theorem).