Yaygın açılarda yay, kiriş ve dilim
Aşağıdaki tablo, yarıçapı 10 olan bir daire için birkaç yaygın merkez açısında yay uzunluğunun kiriş uzunluğuyla nasıl karşılaştırıldığını gösterir.
| Merkez açı | Yay uzunluğu (r=10) | Kiriş uzunluğu (r=10) |
|---|---|---|
| 30° | 5,2360 | 5,1764 |
| 60° | 10,4720 | 10,0000 |
| 90° | 15,7080 | 14,1421 |
| 180° | 31,4159 | 20,0000 |
| 360° | 62,8319 (tam çevre) | 0 (başlangıç = bitiş noktası) |
- 360°'de, yay uzunluğu tam çevreye (2πr) eşittir ve başlangıç ile bitiş noktaları çakıştığından kiriş uzunluğu sıfırdır.
- Aynı açı için yay uzunluğu her zaman kiriş uzunluğundan büyük veya ona eşittir, çünkü düz bir çizgi iki nokta arasındaki en kısa yoldur ve yay bunların arasında eğri çizer.
- Daire parçası alanı yalnızca 0° ile 360° arasında kalan açılar için anlamlıdır; tam olarak 0°'de hem dilim alanı hem de daire parçası alanı sıfırdır.
Yay uzunluğu, kiriş uzunluğu ve dilim alanı nedir?
Yay, bir dairenin çevresinin eğri bir bölümüdür; iki yarıçap ve bir merkez açıyla sınırlanır. Yay uzunluğu, bu eğri boyunca olan mesafedir. Kiriş, yayın iki uç noktasını birleştiren düz doğru parçasıdır — açı son derece küçük olmadıkça her zaman yayın kendisinden daha kısadır.
Dilim, yay ve iki yarıçapla sınırlanan pasta dilimi biçimindeki bölgedir; daire parçası ise yay ve kiriş ile sınırlanan daha küçük bölgedir (pasta diliminden, iki yarıçap ve kirişin oluşturduğu üçgen çıkarılmış hali). Dört büyüklüğün tümü doğrudan yarıçaptan ve merkez açıdan hesaplanır.
Bu yay uzunluğu hesaplama aracı nasıl kullanılır
- Dairenin yarıçapını girin.
- Merkez açıyı derece cinsinden, 0° ile 360° arasında girin.
- Anında güncellenen yay uzunluğunu, kiriş uzunluğunu, dilim alanını ve daire parçası alanını okuyun.
Yay uzunluğu ve dilim alanının ardındaki formüller
Tüm formüller merkez açının radyan cinsinden olmasını gerektirir (θ = derece cinsinden açı × π / 180); hesaplayıcı bu dönüşümü derece girdisinden otomatik olarak yapar.
Sık yapılan hatalar
- Hesaplayıcı derece beklerken açıyı radyan cinsinden girmek.
- Yay uzunluğunu (eğri bir mesafe) kiriş uzunluğuyla (düz bir çizgi mesafesi) karıştırmak — bunlar yalnızca açı sıfıra yaklaştıkça eşit olur.
- Dilim alanını (iki yarıçap ve yayla sınırlanan) daire parçası alanıyla (kiriş ve yayla sınırlanan) karıştırmak — daire parçası her zaman daha küçüktür.
- 360°'den büyük bir açı kullanmak; bu, tek bir dairenin iyi tanımlanmış, tek bir dilimine karşılık gelmez.
Sıkça Sorulan Sorular
Yay uzunluğu nasıl hesaplanır?
Yay uzunluğu, yarıçap ile merkez açının radyan cinsinden değerinin çarpımına eşittir: s = rθ. 10 yarıçap ve 60°'lik bir açı için (θ = π/3 radyan), yay uzunluğu 10 × π/3 ≈ 10,4720 birimdir.
Yay uzunluğu ile kiriş uzunluğu arasındaki fark nedir?
Yay uzunluğu, dairenin eğri kenarı boyunca iki nokta arasındaki mesafedir; kiriş uzunluğu ise aynı iki nokta arasındaki düz çizgi mesafesidir. 10 yarıçap ve 60°'lik bir açı için yay uzunluğu yaklaşık 10,4720'dir ve kiriş uzunluğu tam olarak 10'dur (çünkü kiriş = 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0,5 = 10).
Bir dilimin alanı nasıl bulunur?
Dilim alanı, yarıçapın karesinin yarısı ile merkez açının radyan cinsinden değerinin çarpımına eşittir: A = ½r²θ. 10 yarıçap ve 60°'lik bir açı için dilim alanı ½ × 100 × (π/3) ≈ 52,3599 kare birimdir.
Bir dairenin parçası (segmenti) nedir?
Daire parçası, bir kiriş ile onun ayırdığı yay arasındaki bölgedir — dilim alanından, iki yarıçap ve kirişin oluşturduğu üçgen alan çıkarılmış hali. 10 yarıçap ve 60°'lik bir açı için daire parçası alanı ½ × 100 × (π/3 − sin 60°) ≈ 9,0586 kare birimdir.
Bu formüller için dereceler radyana nasıl dönüştürülür?
Derece cinsinden açıyı π/180 ile çarpın. Örneğin, 60° × π/180 = π/3 radyan ≈ 1,0472 radyan.
Tam bir dairenin yay uzunluğu nedir?
360°'lik bir merkez açıda (2π radyan), yay uzunluğu tam çevreye, 2πr'ye eşittir. 10 yarıçap için bu, 2π × 10 ≈ 62,8319 birimdir.
Kaynaklar
- Weisstein, Eric W. "Circular Arc", "Circular Sector" and "Circular Segment." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).